Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{4}{x} y = 5 x + 7$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{4}{x}$ .

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Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{4}{x} d x}$

Étape 1.2

Intégrez $\frac{4}{x}$ .

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Étape 1.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$e^{4 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 1.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{4 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 1.2.3

Simplifiez

$e^{4 \ln (| x |) + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{4 \ln (x)}$

Étape 1.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{4})}$

Étape 1.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{4}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x^{4}$ .

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Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} (\frac{4}{x} y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.2.1

Associez $\frac{4}{x}$ et $y$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{4} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.2.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x \cdot x^{3} \frac{4 y}{x} = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + x^{3} (4 y) = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = x^{4} (5 x) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 2.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{4} x + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.3.2

Multipliez $x^{4}$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.1

Déplacez $x$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x \cdot x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.3.2.2

Multipliez $x$ par $x^{4}$ .

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Étape 2.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 (x^{1} x^{4}) + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{1 + 4} + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.3.2.3

Additionnez $1$ et $4$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + x^{4} \cdot 7$

Étape 2.3.3

Déplacez $7$ à gauche de $x^{4}$ .

$x^{4} \frac{d y}{d x} + 4 x^{3} y = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x^{4} y] = 5 x^{5} + 7 x^{4}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x^{4} y] d x = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} + 7 x^{4} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$x^{4} y = \int 5 x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Étape 6.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} y = 5 \int x^{5} d x + \int 7 x^{4} d x$

Étape 6.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{5}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{6} x^{6}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + \int 7 x^{4} d x$

Étape 6.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 \int x^{4} d x$

Étape 6.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6} x^{6} + C) + 7 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 6.6

Simplifiez

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Étape 6.6.1

Simplifiez

$x^{4} y = 5 (\frac{1}{6}) x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Étape 6.6.2

Simplifiez

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Étape 6.6.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{6}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + 7 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Étape 6.6.2.2

Associez $7$ et $\frac{1}{5}$ .

$x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ par $x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $x^{4} y = \frac{5}{6} x^{6} + \frac{7}{5} x^{5} + C$ par $x^{4}$ .

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{4} y}{x^{4}} = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{6}}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{6}$ et $x^{4}$ .

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Étape 7.3.1.1.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $\frac{5}{6} x^{6}$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4}} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x^{4} (\frac{5}{6} x^{2})}{x^{4} \cdot 1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{\frac{5}{6} x^{2}}{1} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.1.2.4

Divisez $\frac{5}{6} x^{2}$ par $1$ .

$y = \frac{5}{6} x^{2} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.2

Associez $\frac{5}{6}$ et $x^{2}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x^{5}}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.3

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x^{4}$ .

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Étape 7.3.1.3.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $\frac{7}{5} x^{5}$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4}} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.3.1.3.2.1

Multipliez par $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{x^{4} (\frac{7}{5} x)}{x^{4} \cdot 1} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{\frac{7}{5} x}{1} + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.3.2.4

Divisez $\frac{7}{5} x$ par $1$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7}{5} x + \frac{C}{x^{4}}$

Étape 7.3.1.4

Associez $\frac{7}{5}$ et $x$ .

$y = \frac{5 x^{2}}{6} + \frac{7 x}{5} + \frac{C}{x^{4}}$