Calcul infinitésimal Exemples

$(y + 1) d x - x d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(y + 1) d x$ des deux côtés de l’équation.

$- x d y = - (y + 1) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x (y + 1)} (- x) d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (y + 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{x (y + 1)} x d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{x (y + 1)} (- (y + 1)) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x (y + 1)}$ dans le numérateur.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x (y + 1)} (y + 1) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $y + 1$ à partir de $x (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Étape 3.5.3

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) x} (y + 1) d x$

Étape 3.5.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{x} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u = y + 1$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 4.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \int \frac{1}{u} d u = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.3

Simplifiez

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| y + 1 |) + \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Soustrayez $\ln (| x |)$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| y + 1 |) = C - \ln (| x |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| y + 1 |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| y + 1 |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Étape 5.3.2.2

Divisez $\ln (| y + 1 |)$ par $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| y + 1 |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Étape 5.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{- \ln (| x |)}{- 1}$

Étape 5.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| y + 1 |) = - C + \frac{\ln (| x |)}{1}$

Étape 5.3.3.1.4

Divisez $\ln (| x |)$ par $1$ .

$\ln (| y + 1 |) = - C + \ln (| x |)$

Étape 5.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y + 1 |) - \ln (| x |) = - C$

Étape 5.5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$

Étape 5.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |})} = e^{- C}$

Étape 5.7

Réécrivez $\ln (\frac{| y + 1 |}{| x |}) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| y + 1 |}{| x |}$

Étape 5.8

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} = e^{- C}$

Étape 5.8.2

Multipliez les deux côtés par $| x |$ .

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Étape 5.8.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.8.3.1

Annulez le facteur commun de $| x |$ .

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Étape 5.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y + 1 |}{| x |} | x | = e^{- C} | x |$

Étape 5.8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y + 1 | = e^{- C} | x |$

Étape 5.8.4

Résolvez $y$ .

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Étape 5.8.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- C} | x |$ .

$| y + 1 | = | x | e^{- C}$

Étape 5.8.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y + 1 = \pm | x | e^{- C}$

Étape 5.8.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | x | e^{- C}$ .

$y + 1 = \pm e^{- C} | x |$

Étape 5.8.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y = \pm e^{- C} | x | - 1$

Étape 6

Regroupez les termes constants.

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Étape 6.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm C | x | - 1$

Étape 6.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C | x | - 1$