Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{x y + y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y + y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y}$

Étape 1.1.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y^{1}}$

Étape 1.1.3

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y x + y \cdot 1}$

Étape 1.1.4

Factorisez $y$ à partir de $y x + y \cdot 1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{y}{y^{2} + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} (\frac{y^{2} + 1}{y} \cdot \frac{1}{x + 1})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{y^{2} + 1}{y}$ par $\frac{1}{x + 1}$ .

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{y}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{y (x + 1)}$

Étape 1.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y^{2} + 1$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2} + 1} \cdot \frac{y^{2} + 1}{x + 1}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y}{y^{2} + 1} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x + 1}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{y}{y^{2} + 1} d y = \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{y}{y^{2} + 1} d y = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = y^{2} + 1$ . Alors $d u_{1} = 2 y d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = y d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = y^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $y^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2} + 1]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 y + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 2.2.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 y + 0$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $2 y$ et $0$ .

$2 y$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y^{2} + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Puis $d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 2.3.1.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x + 1$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) + C_{1} = \ln (| x + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |) = \ln (| x + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |)) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} \ln (| y^{2} + 1 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\ln (| y^{2} + 1 |)$ .

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{\ln (| y^{2} + 1 |)}{2} = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 (\ln (| x + 1 |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| y^{2} + 1 |) = 2 \ln (| x + 1 |) + 2 C$

Étape 3.3

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) = 2 C$

Étape 3.4

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Simplifiez $\ln (| y^{2} + 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |)$ .

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Étape 3.4.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x + 1 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({| x + 1 |}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 1 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y^{2} + 1 |) - \ln ({(x + 1)}^{2}) = 2 C$

Étape 3.4.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$

Étape 3.5

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}})} = e^{2 C}$

Étape 3.6

Réécrivez $\ln (\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}) = 2 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{2 C} = \frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.7

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} = e^{2 C}$

Étape 3.7.2

Multipliez les deux côtés par ${(x + 1)}^{2}$ .

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.7.3.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.7.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y^{2} + 1 |}{{(x + 1)}^{2}} {(x + 1)}^{2} = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Étape 3.7.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$

Étape 3.7.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.7.4.1

Simplifiez $e^{2 C} {(x + 1)}^{2}$ .

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Étape 3.7.4.1.1

Réécrivez ${(x + 1)}^{2}$ comme $(x + 1) (x + 1)$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} ((x + 1) (x + 1))$

Étape 3.7.4.1.2

Développez $(x + 1) (x + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.7.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x (x + 1) + 1 (x + 1))$

Étape 3.7.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 (x + 1))$

Étape 3.7.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x \cdot x + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 3.7.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.7.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.7.4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x \cdot 1 + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 3.7.4.1.3.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + 1 x + 1 \cdot 1)$

Étape 3.7.4.1.3.1.3

Multipliez $x$ par $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1 \cdot 1)$

Étape 3.7.4.1.3.1.4

Multipliez $1$ par $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + x + x + 1)$

Étape 3.7.4.1.3.2

Additionnez $x$ et $x$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} (x^{2} + 2 x + 1)$

Étape 3.7.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + e^{2 C} (2 x) + e^{2 C} \cdot 1$

Étape 3.7.4.1.5

Simplifiez

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Étape 3.7.4.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C} \cdot 1$

Étape 3.7.4.1.5.2

Multipliez $e^{2 C}$ par $1$ .

$| y^{2} + 1 | = e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$

Étape 3.7.4.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 C} x^{2} + 2 e^{2 C} x + e^{2 C}$ .

$| y^{2} + 1 | = x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}$

Étape 3.7.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y^{2} + 1 = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C})$

Étape 3.7.4.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y^{2} = \pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1$

Étape 3.7.4.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} e^{2 C} + 2 x e^{2 C} + e^{2 C}) - 1}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm \sqrt{\pm (x^{2} C + 2 x C + C) - 1}$