Calcul infinitésimal Exemples

$(y + 1) e^{x} d x - (e^{x} + 1) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(y + 1) e^{x} d x$ des deux côtés de l’équation.

$- (e^{x} + 1) d y = - (y + 1) e^{x} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ .

$\frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (e^{x} + 1)) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.2

Annulez le facteur commun de $e^{x} + 1$ .

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Étape 3.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (e^{x} + 1) d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} (- (y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.5

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 3.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(e^{x} + 1) (y + 1)}$ dans le numérateur.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(e^{x} + 1) (y + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.5.2

Factorisez $y + 1$ à partir de $(e^{x} + 1) (y + 1)$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.5.3

Factorisez $y + 1$ à partir de $(y + 1) e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) (e^{x})) d x$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{(y + 1) (e^{x} + 1)} ((y + 1) e^{x}) d x$

Étape 3.5.5

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- 1}{e^{x} + 1} e^{x} d x$

Étape 3.6

Associez $\frac{- 1}{e^{x} + 1}$ et $e^{x}$ .

$- \frac{1}{y + 1} d y = \frac{- e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y + 1} d y = - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int - \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{y + 1} d y = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4.2.2

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Puis $d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 4.2.2.1

Laissez $u_{1} = y + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 4.2.2.1.1

Différenciez $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Étape 4.2.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y + 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Étape 4.2.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.2.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4.2.4

Simplifiez

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = \int - \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{e^{x}}{e^{x} + 1} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u_{2} = e^{x} + 1$ . Alors $d u_{2} = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u_{2} = e^{x} + 1$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $e^{x} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x} + 1]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $e^{x} + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{x} + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 4.3.2.1.4.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$e^{x} + 0$

Étape 4.3.2.1.4.2

Additionnez $e^{x}$ et $0$ .

$e^{x}$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 4.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 4.3.4

Simplifiez

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 4.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $e^{x} + 1$ .

$- \ln (| y + 1 |) + C_{1} = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| y + 1 |) = - \ln (| e^{x} + 1 |) + C$