Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x} - y}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Réécrivez l’équation comme $M (x) \frac{d y}{d x} + P (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1.1

Divisez la fraction $\frac{e^{x} - y}{x}$ en deux fractions.

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 1.1.2

Soustrayez $\frac{- y}{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} - \frac{- y}{x} = \frac{e^{x}}{x}$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $- \frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y (- \frac{- 1}{x}) = \frac{e^{x}}{x}$

Étape 1.3

Remettez dans l’ordre $y$ et $- \frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} - \frac{- 1}{x} y = \frac{e^{x}}{x}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = - \frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int - \frac{- 1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $- \frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{\int - - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$e^{\int 1 \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.1.3

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $1$ .

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (- \frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \frac{d y}{d x} - x (\frac{- 1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{1}{x} y) = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.3

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$x \frac{d y}{d x} - x (- \frac{y}{x}) = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{y}{x}$ dans le numérateur.

$x \frac{d y}{d x} - x \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.4.2

Factorisez $x$ à partir de $- x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.4.3

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \cdot - 1 \frac{- y}{x} = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.4.4

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} - - y = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$x \frac{d y}{d x} + 1 y = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.2.6

Multipliez $y$ par $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + y = x \frac{e^{x}}{x}$

Étape 3.3.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = e^{x}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = e^{x}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int e^{x} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int e^{x} d x$

Étape 7

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$x y = e^{x} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x y = e^{x} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x y = e^{x} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{e^{x}}{x} + \frac{C}{x}$