Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{7 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{7 y}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $7 y$ .

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{y \cdot 7}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y \frac{d y}{d t} = y \frac{2 t^{2}}{y \cdot 7}$

Étape 1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y \frac{d y}{d t} = \frac{2 t^{2}}{7}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{2 t^{2}}{7} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{2 t^{2}}{7} d t$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{2 t^{2}}{7} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Comme $\frac{2}{7}$ est constant par rapport à $t$ , placez $\frac{2}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} \int t^{2} d t$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Réécrivez $\frac{2}{7} (\frac{1}{3} t^{3} + C_{2})$ comme $\frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7} \cdot \frac{1}{3} t^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.2.1

Multipliez $\frac{2}{7}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{7 \cdot 3} t^{3} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $7$ par $3$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \frac{2}{21} t^{3} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = \frac{2}{21} t^{3} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (\frac{2}{21} t^{3} + K)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{2}{21}$ et $t^{3}$ .

$y^{2} = 2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3

Multipliez $2 \frac{2 t^{3}}{21}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $2$ et $\frac{2 t^{3}}{21}$ .

$y^{2} = \frac{2 (2 t^{3})}{21} + 2 K$

Étape 3.2.2.1.3.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y^{2} = \frac{4 t^{3}}{21} + 2 K$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K}$

Étape 3.4

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{4 t^{3}}{21} + 2 K$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $\frac{4 t^{3}}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K}$

Étape 3.4.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K}$

Étape 3.4.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 \frac{2 t^{3}}{21} + 2 K$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K)}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{21}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + K \cdot \frac{21}{21})}$

Étape 3.4.3

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Associez $K$ et $\frac{21}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{2 (\frac{2 t^{3}}{21} + \frac{K \cdot 21}{21})}$

Étape 3.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3} + K \cdot 21}{21}}$

Étape 3.4.4

Déplacez $21$ à gauche de $K$ .

$y = \pm \sqrt{2 \frac{2 t^{3} + 21 K}{21}}$

Étape 3.4.5

Associez $2$ et $\frac{2 t^{3} + 21 K}{21}$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{2 (2 t^{3} + 21 K)}{21}}$

Étape 3.4.6

Réécrivez $\sqrt{\frac{2 (2 t^{3} + 21 K)}{21}}$ comme $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$

Étape 3.4.7

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$

Étape 3.4.8

Associez et simplifiez le dénominateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)}}{\sqrt{21}}$ par $\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{21}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{\sqrt{21} \sqrt{21}}$

Étape 3.4.8.2

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} \sqrt{21}}$

Étape 3.4.8.3

Élevez $\sqrt{21}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1} {\sqrt{21}}^{1}}$

Étape 3.4.8.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{1 + 1}}$

Étape 3.4.8.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{\sqrt{21}}^{2}}$

Étape 3.4.8.6

Réécrivez ${\sqrt{21}}^{2}$ comme $21$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{21}$ comme $21^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{{(21^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 3.4.8.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 3.4.8.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.8.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{\frac{2}{2}}}$

Étape 3.4.8.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21^{1}}$

Étape 3.4.8.6.5

Évaluez l’exposant.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K)} \sqrt{21}}{21}$

Étape 3.4.9

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.9.1

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{\sqrt{2 (2 t^{3} + 21 K) \cdot 21}}{21}$

Étape 3.4.9.2

Multipliez $21$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Étape 3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Étape 3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Étape 3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + 21 K)}}{21}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + K)}}{21}$

$y = - \frac{\sqrt{42 (2 t^{3} + K)}}{21}$