Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{3}{2} \cdot \frac{d v}{d t} = 13.6 - \frac{1}{2} v$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v}$ .

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $13.6 - \frac{1}{2} v$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (13.6 - \frac{1}{2} v)$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} (\frac{3}{2} \frac{d v}{d t}) = 1$

Étape 1.3

Supprimez les parenthèses inutiles.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} \frac{d v}{d t} = 1$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = 1 d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{1}{2} v} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Associez $v$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} \cdot \frac{3}{2} d v = \int d t$

Étape 2.2.1.2

Multipliez $\frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}}$ par $\frac{3}{2}$ .

$\int \frac{3}{(13.6 - \frac{v}{2}) \cdot 2} d v = \int d t$

Étape 2.2.1.3

Déplacez $2$ à gauche de $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\int \frac{3}{2 (13.6 - \frac{v}{2})} d v = \int d t$

Étape 2.2.2

Comme $\frac{3}{2}$ est constant par rapport à $v$ , placez $\frac{3}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{13.6 - \frac{v}{2}} d v = \int d t$

Étape 2.2.3

Laissez $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Alors $d u = - \frac{1}{2} d v$ , donc $- 2 d u = d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = 13.6 - \frac{v}{2}$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Différenciez $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$\frac{d}{d v} [13.6 - \frac{v}{2}]$

Étape 2.2.3.1.2

Différenciez.

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Étape 2.2.3.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $13.6 - \frac{v}{2}$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

$\frac{d}{d v} [13.6] + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Étape 2.2.3.1.2.2

Comme $13.6$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $13.6$ par rapport à $v$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$

Étape 2.2.3.1.3

Évaluez $\frac{d}{d v} [- \frac{v}{2}]$ .

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Étape 2.2.3.1.3.1

Comme $- \frac{1}{2}$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- \frac{v}{2}$ par rapport à $v$ est $- \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d v} [v]$

Étape 2.2.3.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Étape 2.2.3.1.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Étape 2.2.3.1.4

Soustrayez $\frac{1}{2}$ de $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Étape 2.2.4

Simplifiez

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Étape 2.2.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d t$

Étape 2.2.4.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d t$

Étape 2.2.4.3

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{2}$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d t$

Étape 2.2.4.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$\frac{3}{2} \int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d t$

Étape 2.2.4.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} \int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.4.6

Associez $- 2$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{- 2}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3}{2} \int - \frac{2}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (- \int \frac{2}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.6

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{3}{2} (- (2 \int \frac{1}{u} d u)) = \int d t$

Étape 2.2.7

Simplifiez

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Étape 2.2.7.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{3}{2} (- 2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d t$

Étape 2.2.7.2

Associez $- 2$ et $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.7.3

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\frac{- 6}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.7.4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $2$ .

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Étape 2.2.7.4.1

Factorisez $2$ à partir de $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.7.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.7.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.7.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.7.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 3}{1} \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.7.4.2.4

Divisez $- 3$ par $1$ .

$- 3 \int \frac{1}{u} d u = \int d t$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- 3 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d t$

Étape 2.2.9

Simplifiez

$- 3 \ln (| u |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $13.6 - \frac{v}{2}$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.2.11

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = \int d t$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) + C_{1} = t + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$

Étape 3

Résolvez $v$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ par $- 3$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = t + C$ par $- 3$ .

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $- 3$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 3 \ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)}{- 3} = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |)$ par $1$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{1}{2} v |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Étape 3.1.2.2

Associez $v$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = \frac{t}{- 3} + \frac{C}{- 3}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} + \frac{C}{- 3}$

Étape 3.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$

Étape 3.2

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |)} = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\ln (| 13.6 - \frac{v}{2} |) = - \frac{t}{3} - \frac{C}{3}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} = | 13.6 - \frac{v}{2} |$

Étape 3.4

Résolvez $v$ .

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Étape 3.4.1

Réécrivez l’équation comme $| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$ .

$| 13.6 - \frac{v}{2} | = e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Étape 3.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$13.6 - \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}$

Étape 3.4.3

Soustrayez $13.6$ des deux côtés de l’équation.

$- \frac{v}{2} = \pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6$

Étape 3.4.4

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{v}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Étape 3.4.5

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.4.5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.5.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{v}{2})$ .

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Étape 3.4.5.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.5.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{v}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Étape 3.4.5.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Étape 3.4.5.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- v}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Étape 3.4.5.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Étape 3.4.5.1.1.2

Multipliez.

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Étape 3.4.5.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Étape 3.4.5.1.1.2.2

Multipliez $v$ par $1$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$

Étape 3.4.5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.5.2.1

Simplifiez $- 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}} - 13.6)$ .

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Étape 3.4.5.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) - 2 \cdot - 13.6$

Étape 3.4.5.2.1.2

Multipliez $- 2$ par $- 13.6$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} - \frac{C}{3}}) + 27.2$

Étape 3.4.6

Remettez dans l’ordre $- \frac{t}{3}$ et $- \frac{C}{3}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{3} - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = - 2 (\pm e^{C - \frac{t}{3}}) + 27.2$

Étape 4.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3} + C}) + 27.2$

Étape 4.3

Réécrivez $e^{- \frac{t}{3} + C}$ comme $e^{- \frac{t}{3}} e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{- \frac{t}{3}} e^{C}) + 27.2$

Étape 4.4

Remettez dans l’ordre $e^{- \frac{t}{3}}$ et $e^{C}$ .

$v = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$

Étape 4.5

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$v = - 2 (C e^{- \frac{t}{3}}) + 27.2$