Calcul infinitésimal Exemples

$(2 x + Y) d x + (2 Y + x) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $(2 x + Y) d x$ des deux côtés de l’équation.

$(2 Y + x) d y = - (2 x + Y) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $2 Y + x$ .

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Étape 3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2 Y + x} (2 Y + x) d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Étape 3.1.2

Réécrivez l’expression.

$1 d y = \frac{1}{2 Y + x} (- (2 x + Y)) d x$

Étape 3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$1 d y = - \frac{1}{2 Y + x} (2 x + Y) d x$

Étape 3.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 d y = (- \frac{1}{2 Y + x} (2 x) - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Étape 3.4

Multipliez $- \frac{1}{2 Y + x} (2 x)$ .

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Étape 3.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$1 d y = (- 2 \frac{1}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Étape 3.4.2

Associez $- 2$ et $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2}{2 Y + x} x - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Étape 3.4.3

Associez $\frac{- 2}{2 Y + x}$ et $x$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{1}{2 Y + x} Y) d x$

Étape 3.5

Associez $Y$ et $\frac{1}{2 Y + x}$ .

$1 d y = (\frac{- 2 x}{2 Y + x} - \frac{Y}{2 Y + x}) d x$

Étape 3.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$1 d y = \frac{- 2 x - Y}{2 Y + x} d x$

Étape 3.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - Y}{2 Y + x} d x$

Étape 3.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- Y$ .

$1 d y = \frac{- (2 x) - (Y)}{2 Y + x} d x$

Étape 3.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x) - (Y)$ .

$1 d y = \frac{- (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Étape 3.10

Réécrivez $- (2 x + Y)$ comme $- 1 (2 x + Y)$ .

$1 d y = \frac{- 1 (2 x + Y)}{2 Y + x} d x$

Étape 3.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$1 d y = - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Étape 4.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int - \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 x + Y}{2 Y + x} d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = 2 Y + x$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = 2 Y + x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $2 Y + x$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y + x]$

Étape 4.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 Y + x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 Y] + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.3

Comme $2 Y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 Y$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 4.3.2.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y) + Y}{u} d u$

Étape 4.3.3

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$y + C_{1} = - \int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} + \frac{Y}{u} d u$

Étape 4.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = - (\int \frac{2 (u - 2 Y)}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u - 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.6

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$y + C_{1} = - (2 \int \frac{u}{u} + \frac{- 2 Y}{u} d u + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.7

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.8

Annulez le facteur commun de $u$ .

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Étape 4.3.8.1

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = - (2 (\int \frac{u}{u} d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.8.2

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = - (2 (\int d u + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.9

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int \frac{- 2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} + \int - \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - \int \frac{2 Y}{u} d u) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.12

Comme $2 Y$ est constant par rapport à $u$ , placez $2 Y$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y \int \frac{1}{u} d u)) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.13

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - (2 Y (\ln (| u |) + C_{3}))) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.14

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + \int \frac{Y}{u} d u)$

Étape 4.3.15

Comme $Y$ est constant par rapport à $u$ , placez $Y$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.16

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 (u + C_{2} - 2 Y (\ln (| u |) + C_{3})) + Y (\ln (| u |) + C_{4}))$

Étape 4.3.17

Simplifiez

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Étape 4.3.17.1

Simplifiez

$y + C_{1} = - (2 u - 4 Y \ln (| u |) + Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Étape 4.3.17.2

Additionnez $- 4 Y \ln (| u |)$ et $Y \ln (| u |)$ .

$y + C_{1} = - (2 u - 3 Y \ln (| u |)) + C_{5}$

Étape 4.3.18

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 Y + x$ .

$y + C_{1} = - (2 (2 Y + x) - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Étape 4.3.19

Simplifiez

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Étape 4.3.19.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.3.19.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = - (2 (2 Y) + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Étape 4.3.19.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y + C_{1} = - (4 Y + 2 x - 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Étape 4.3.19.2

Appliquez la propriété distributive.

$y + C_{1} = - (4 Y) - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Étape 4.3.19.3

Simplifiez

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Étape 4.3.19.3.1

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - (2 x) - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Étape 4.3.19.3.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x - (- 3 Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

Étape 4.3.19.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 (Y \ln (| 2 Y + x |)) + C_{5}$

$y + C_{1} = - 4 Y - 2 x + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) + C_{5}$

Étape 4.3.20

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C_{5}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = - 4 Y + 3 Y \ln (| 2 Y + x |) - 2 x + C$