Calcul infinitésimal Exemples

$(3 y x^{2}) d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = 3 y x^{2}$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 y x^{2}]$

Étape 1.2

Comme $3 x^{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y x^{2}$ par rapport à $y$ est $3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2} \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 x^{2}$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - x^{3} - 2 y^{4}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3} - 2 y^{4}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{3} - 2 y^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 2 y^{4}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $- 2 y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 y^{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2} + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $- 3 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 3 x^{2}$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2}$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 x^{2}$ .

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$3 x^{2} = - 3 x^{2}$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $3 x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $3 y x^{2}$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $3 y x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2} - (3 x^{2})}{3 y x^{2}}$

Étape 4.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2} - 1 \cdot 3 x^{2}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 - 1 \cdot 3 x^{2}}{3 y x^{2}}$

Étape 4.3.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $- 1 \cdot 3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Étape 4.3.2.1.3

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} \cdot - 3 + x^{2} (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 1 \cdot 3)}{3 y x^{2}}$

Étape 4.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{x^{2} (- 3 - 3)}{3 y x^{2}}$

Étape 4.3.2.3

Soustrayez $3$ de $- 3$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Étape 4.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot - 6}{3 y x^{2}}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 6}{3 y}$

Étape 4.3.4

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $3$ .

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Étape 4.3.4.1

Factorisez $3$ à partir de $- 6$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Étape 4.3.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 4.3.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y$ .

$\frac{3 \cdot - 2}{3 (y)}$

Étape 4.3.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 \cdot - 2}{3 y}$

Étape 4.3.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 2}{y}$

Étape 4.3.5

Remplacez $M$ par $3 y x^{2}$ .

$- \frac{2}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int - \frac{2}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2}{y} d y}$

Étape 5.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{1}{y} d y)}$

Étape 5.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.5

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{- 2 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.6.1

Simplifiez $- 2 \ln (| y |)$ en déplaçant $- 2$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{- 2})} + C$

Étape 5.6.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{- 2} + C$

Étape 5.6.3

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{- 2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$μ (x, y) = y^{- 2} + C$

Étape 5.6.4

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{y^{2}} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $3 y x^{2} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $\frac{1}{y^{2}}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $3 y x^{2}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$3 y x^{2} \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 6.2.1

Factorisez $y$ à partir de $3 y x^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y^{2}} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{2}$ .

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Annulez le facteur commun.

$y (3 x^{2}) \frac{1}{y \cdot y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.2.4

Réécrivez l’expression.

$3 x^{2} \frac{1}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.3

Associez $3$ et $\frac{1}{y}$ .

$x^{2} \frac{3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.4

Associez $x^{2}$ et $\frac{3}{y}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) d y = 0$

Étape 6.6

Multipliez $- x^{3} - 2 y^{4}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + (- x^{3} - 2 y^{4}) \frac{1}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $- x^{3} - 2 y^{4}$ par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- x^{3} - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.8

Factorisez $- 1$ à partir de $- x^{3}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.9

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 y^{4}$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3}) - (2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.10

Factorisez $- 1$ à partir de $- (x^{3}) - (2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.11

Réécrivez $- (x^{3} + 2 y^{4})$ comme $- 1 (x^{3} + 2 y^{4})$ .

$\frac{3 x^{2}}{y} d x + \frac{- 1 (x^{3} + 2 y^{4})}{y^{2}} d y = 0$

Étape 6.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{3 x^{2}}{y} d x - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int \frac{3 x^{2}}{y} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = \frac{3 x^{2}}{y}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $\frac{3}{y}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{3}{y}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = \frac{3}{y} \int x^{2} d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $\frac{3}{y} (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $\frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y} \cdot \frac{1}{3} x^{3} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Multipliez $\frac{3}{y}$ par $\frac{1}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{3}{y \cdot 3} x^{3} + C$

Étape 8.3.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 \cdot y} x^{3} + C$

Étape 8.3.2.3

Multipliez $3$ par $y$ .

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Étape 8.3.2.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 8.3.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$f (x, y) = \frac{3}{3 y} x^{3} + C$

Étape 8.3.2.4.2

Réécrivez l’expression.

$f (x, y) = \frac{1}{y} x^{3} + C$

Étape 8.3.2.5

Associez $\frac{1}{y}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y} + g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{x^{3}}{y} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{x^{3}}{y}]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $x^{3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{x^{3}}{y}$ par rapport à $y$ est $x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.3.2

Réécrivez $\frac{1}{y}$ comme $y^{- 1}$ .

$x^{3} \frac{d}{d y} [y^{- 1}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$x^{3} (- y^{- 2}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} (- \frac{1}{y^{2}}) + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.5.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{y^{2}}$ .

$- \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{d g}{d y} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} = - \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 12.1.1.1

Ajoutez $\frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} - \frac{x^{3}}{y^{2}} + \frac{x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{- x^{3} + x^{3} + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.3

Additionnez $- x^{3}$ et $x^{3}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{0 + 2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.4

Additionnez $0$ et $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{4}}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5

Annulez le facteur commun à $y^{4}$ et $y^{2}$ .

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Étape 12.1.1.5.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $2 y^{4}$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2}} = 0$

Étape 12.1.1.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 12.1.1.5.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d g}{d y} + \frac{y^{2} (2 y^{2})}{y^{2} \cdot 1} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d g}{d y} + \frac{2 y^{2}}{1} = 0$

Étape 12.1.1.5.2.4

Divisez $2 y^{2}$ par $1$ .

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{2} = 0$

Étape 12.1.2

Soustrayez $2 y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $- 2 y^{2}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = - 2 y^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 2 y^{2} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 2 y^{2} d y$

Étape 13.3

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , placez $- 2$ en dehors de l’intégrale.

$g (y) = - 2 \int y^{2} d y$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$

Étape 13.5

Simplifiez la réponse.

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Étape 13.5.1

Réécrivez $- 2 (\frac{1}{3} y^{3} + C)$ comme $- 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$ .

$g (y) = - 2 (\frac{1}{3}) y^{3} + C$

Étape 13.5.2

Simplifiez

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Étape 13.5.2.1

Associez $- 2$ et $\frac{1}{3}$ .

$g (y) = \frac{- 2}{3} y^{3} + C$

Étape 13.5.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$g (y) = - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2}{3} y^{3} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $y^{3}$ et $\frac{2}{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{y^{3} \cdot 2}{3} + C$

Étape 15.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{3}}{y} - \frac{2 y^{3}}{3} + C$