Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 x^{2} y - 8 x y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Factorisez $2 x y$ à partir de $2 x^{2} y - 8 x y$ .

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Étape 1.1.1

Factorisez $2 x y$ à partir de $2 x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x) - 8 x y$

Étape 1.1.2

Factorisez $2 x y$ à partir de $- 8 x y$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x) + 2 x y (- 4)$

Étape 1.1.3

Factorisez $2 x y$ à partir de $2 x y (x) + 2 x y (- 4)$ .

$\frac{d y}{d x} = 2 x y (x - 4)$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 x y (x - 4))$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (x y (x - 4))$

Étape 1.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (x y (x - 4))$

Étape 1.3.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y (x - 4)$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (x - 4)))$

Étape 1.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y (x (x - 4)))$

Étape 1.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x (x - 4))$

Étape 1.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x \cdot x + x \cdot - 4)$

Étape 1.3.5

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x^{2} + x \cdot - 4)$

Étape 1.3.6

Déplacez $- 4$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 (x^{2} - 4 \cdot x)$

Étape 1.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} + 2 (- 4 x)$

Étape 1.3.8

Multipliez $- 4$ par $2$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 x^{2} - 8 x$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (2 x^{2} - 8 x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 2 x^{2} - 8 x d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x^{2} - 8 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 2 x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Étape 2.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int x^{2} d x + \int - 8 x d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) + \int - 8 x d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 8$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 8$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 \int x d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{2}) - 8 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\frac{1}{3}) x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $2$ et $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - 8 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Associez $- 8$ et $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{- 8}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Annulez le facteur commun à $- 8$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 (1)} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} + \frac{- 4}{1} x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3.2.4

Divisez $- 4$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{3} x^{3} - 4 x^{2} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| y |) + C_{1} = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = - 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2}{3} x^{3} + C}$

Étape 3.3.2

Associez $\frac{2}{3}$ et $x^{3}$ .

$| y | = e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Réécrivez $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3} + C}$ comme $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{- 4 x^{2} + \frac{2 x^{3}}{3}}$