Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} - 4 = 8 x^{3} - 3 x^{2}$ , $y (1) = 5$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Ajoutez $4$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d y = (8 x^{3} - 3 x^{2} + 4) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} - 3 x^{2} + 4 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 8 x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 8 \int x^{3} d x + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) + \int - 3 x^{2} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 3$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 \int x^{2} d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + \int 4 d x$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x^{4}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Étape 2.3.7.1.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{x^{4}}{4} + C_{2}) - 3 (\frac{x^{3}}{3} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

$y + C_{1} = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $5$ dans $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ .

$5 = 2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$ .

$2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Étape 4.2

Simplifiez $2 \cdot 1^{4} - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 - 1^{3} + 4 \cdot 1 + K = 5$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 - 1 \cdot 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$2 - 1 + 4 \cdot 1 + K = 5$

Étape 4.2.1.5

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 - 1 + 4 + K = 5$

Étape 4.2.2

Simplifiez en ajoutant et en soustrayant.

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Étape 4.2.2.1

Soustrayez $1$ de $2$ .

$1 + 4 + K = 5$

Étape 4.2.2.2

Additionnez $1$ et $4$ .

$5 + K = 5$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$K = 5 - 5$

Étape 4.3.2

Soustrayez $5$ de $5$ .

$K = 0$

Étape 5

Remplacez $K$ par $0$ dans $y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x + 0$

Étape 5.2

Additionnez $2 x^{4} - x^{3} + 4 x$ et $0$ .

$y = 2 x^{4} - x^{3} + 4 x$