Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (2 \cdot \frac{1}{x + 7} \cdot y)$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Étape 1.2.2

Associez $2$ et $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (\frac{1}{x + 7} y)$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{1}{x + 7} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{y} (y \frac{1}{x + 7})$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 2 \frac{1}{x + 7}$

Étape 1.2.4

Associez $2$ et $\frac{1}{x + 7}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2}{x + 7}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{2}{x + 7} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{2}{x + 7} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{x + 7} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = x + 7$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = x + 7$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $x + 7$ .

$\frac{d}{d x} [x + 7]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [7]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 7$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (| x + 7 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (| x + 7 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 2 \ln (| x + 7 |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Simplifiez $- 2 \ln (| x + 7 |)$ en déplaçant $2$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| x + 7 |}^{2}) = C$

Étape 3.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| x + 7 |}^{2}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln ({(x + 7)}^{2}) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par ${(x + 7)}^{2}$ .

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${(x + 7)}^{2}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{{(x + 7)}^{2}} {(x + 7)}^{2} = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} {(x + 7)}^{2}$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez $e^{C} {(x + 7)}^{2}$ .

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Étape 3.5.4.1.1

Réécrivez ${(x + 7)}^{2}$ comme $(x + 7) (x + 7)$ .

$| y | = e^{C} ((x + 7) (x + 7))$

Étape 3.5.4.1.2

Développez $(x + 7) (x + 7)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.5.4.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} (x (x + 7) + 7 (x + 7))$

Étape 3.5.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 (x + 7))$

Étape 3.5.4.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} (x \cdot x + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Étape 3.5.4.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.5.4.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + x \cdot 7 + 7 x + 7 \cdot 7)$

Étape 3.5.4.1.3.1.2

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 \cdot x + 7 x + 7 \cdot 7)$

Étape 3.5.4.1.3.1.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 7 x + 7 x + 49)$

Étape 3.5.4.1.3.2

Additionnez $7 x$ et $7 x$ .

$| y | = e^{C} (x^{2} + 14 x + 49)$

Étape 3.5.4.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} x^{2} + e^{C} (14 x) + e^{C} \cdot 49$

Étape 3.5.4.1.5

Simplifiez

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Étape 3.5.4.1.5.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + e^{C} \cdot 49$

Étape 3.5.4.1.5.2

Déplacez $49$ à gauche de $e^{C}$ .

$| y | = e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 \cdot e^{C}$

Étape 3.5.4.1.6

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} x^{2} + 14 e^{C} x + 49 e^{C}$ .

$| y | = x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (x^{2} e^{C} + 14 x e^{C} + 49 e^{C})$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm (x^{2} C + 14 x C + C)$