Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d v}{d t} = \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d v = (\frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d v = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.3

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ par rapport à $t$ est $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Étape 2.3.5

Comme la dérivée de $\tan (t)$ est $\sec^{2} (t)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (t)$ est $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$v + C_{1} = 8 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $0$ et $v$ par $2$ dans $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$2 = 8 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$ .

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Simplifiez $8 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

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Étape 4.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1.1

La valeur exacte de $\arctan (0)$ est $0$ .

$8 \cdot 0 + \tan (0) + K = 2$

Étape 4.2.1.1.2

Multipliez $8$ par $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 2$

Étape 4.2.1.1.3

La valeur exacte de $\tan (0)$ est $0$ .

$0 + 0 + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + K = 2$

Étape 4.2.1.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 2$

Étape 5

Remplacez $K$ par $2$ dans $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $2$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + 2$