Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot \frac{3 y^{2}}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Associez.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 (3 y^{2})}{y^{2} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot (3)}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.4

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3}{\sqrt{x}} \cdot \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$

Étape 1.2.5

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.5.1

Multipliez $\frac{3}{\sqrt{x}}$ par $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{\sqrt{x} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.5.2

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} \sqrt{x}}$

Étape 1.2.5.3

Élevez $\sqrt{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1} {\sqrt{x}}^{1}}$

Étape 1.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{1 + 1}}$

Étape 1.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{\sqrt{x}}^{2}}$

Étape 1.2.5.6

Réécrivez ${\sqrt{x}}^{2}$ comme $x$ .

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Étape 1.2.5.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{{(x^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Étape 1.2.5.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Étape 1.2.5.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.5.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{\frac{2}{2}}}$

Étape 1.2.5.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x^{1}}$

Étape 1.2.5.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{3 \sqrt{x}}{x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int \frac{3 \sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{\sqrt{x}}{x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} d x$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.2.1

Placez $x^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.2.2.2.1

Multipliez $x$ par $x^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 2.3.2.2.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.2.2.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Étape 2.3.2.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.2.3.1

Retirez $x^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.2.3.2.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Étape 2.3.2.3.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Étape 2.3.4

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.4.1

Réécrivez $3 (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ comme $3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 3 \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $3$ par $2$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 6 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = 6 x^{\frac{1}{2}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = 6 x^{\frac{1}{2}} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = 6 x^{\frac{1}{2}} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = 6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $6 x^{\frac{1}{2}} y + K y$ .

$- 1 = 6 y x^{\frac{1}{2}} + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $6 y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$ .

$6 y x^{\frac{1}{2}} + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $6 y x^{\frac{1}{2}} + K y$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $6 y x^{\frac{1}{2}}$ .

$y (6 x^{\frac{1}{2}}) + K y = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y (6 x^{\frac{1}{2}}) + y K = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (6 x^{\frac{1}{2}}) + y K$ .

$y (6 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $y (6 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ par $6 x^{\frac{1}{2}} + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (6 x^{\frac{1}{2}} + K) = - 1$ par $6 x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$\frac{y (6 x^{\frac{1}{2}} + K)}{6 x^{\frac{1}{2}} + K} = \frac{- 1}{6 x^{\frac{1}{2}} + K}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{6 x^{\frac{1}{2}} + K}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{6 x^{\frac{1}{2}} + K}$