Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 25 e^{x} - x^{2}$ , $y (0) = 19$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (25 e^{x} - x^{2}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} - x^{2} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 25 e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 2.3.2

Comme $25$ est constant par rapport à $x$ , placez $25$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 25 \int e^{x} d x + \int - x^{2} d x$

Étape 2.3.3

L’intégrale de $e^{x}$ par rapport à $x$ est $e^{x}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) + \int - x^{2} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - \int x^{2} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 25 (e^{x} + C_{2}) - (\frac{1}{3} x^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$y + C_{1} = 25 e^{x} - \frac{1}{3} x^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $19$ dans $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ .

$19 = - \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K = 19$

Étape 4.2

Simplifiez $- \frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 25 e^{0} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$- \frac{1}{3} \cdot 0 + 25 e^{0} + K = 19$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Multipliez $0$ par $- 1$ .

$0 (\frac{1}{3}) + 25 e^{0} + K = 19$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $0$ par $\frac{1}{3}$ .

$0 + 25 e^{0} + K = 19$

Étape 4.2.1.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$0 + 25 \cdot 1 + K = 19$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $25$ par $1$ .

$0 + 25 + K = 19$

Étape 4.2.2

Additionnez $0$ et $25$ .

$25 + K = 19$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$K = 19 - 25$

Étape 4.3.2

Soustrayez $25$ de $19$ .

$K = - 6$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 6$ dans $y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 6$ .

$y = - \frac{1}{3} x^{3} + 25 e^{x} - 6$

Étape 5.2

Associez $x^{3}$ et $\frac{1}{3}$ .

$y = - \frac{x^{3}}{3} + 25 e^{x} - 6$