Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{y}$ .

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Étape 1.2.1.1

Factorisez $e^{y}$ à partir de ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Étape 1.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Étape 1.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez ${(x + 2)}^{2}$ comme $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

Étape 1.2.3

Développez $(x + 2) (x + 2)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 1.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Étape 1.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Étape 1.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 1.2.4

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 1.2.4.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.2.4.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 1.2.4.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Étape 1.2.4.1.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Étape 1.2.4.2

Additionnez $2 x$ et $2 x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.1.1

Inversez l’exposant de $e^{y}$ et placez-le hors du dénominateur.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.1.2

Simplifiez

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Étape 2.2.1.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{y})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.1.2.1.2

Déplacez $- 1$ à gauche de $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.1.2.1.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $e^{- y}$ par $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = - y$ . Alors $d u = - d y$ , donc $- d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = - y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Étape 2.2.2.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $y$ est $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

Étape 2.3.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Étape 2.3.6.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ par $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.2.2

Divisez $e^{- y}$ par $1$ .

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (2 x^{2})$ comme $- (2 x^{2})$ .

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.4

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.5

Réécrivez $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ comme $- (\frac{1}{3} x^{3})$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.6

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.7

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{4 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.8

Réécrivez $- 1 \cdot (4 x)$ comme $- (4 x)$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.9

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

Étape 3.1.3.1.10

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

Étape 3.1.3.1.11

Réécrivez $- 1 \cdot K$ comme $- K$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

Étape 3.2

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Étape 3.3

Développez le côté gauche.

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Étape 3.3.1

Développez $\ln (e^{- y})$ en déplaçant $- y$ hors du logarithme.

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Étape 3.3.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Étape 3.3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Étape 3.4

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.4.1

Divisez chaque terme dans $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.4.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Étape 3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.4.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Étape 3.4.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ comme $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $1$ et $y$ par $0$ dans $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ .

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ .

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

Étape 6.2

Divisez chaque terme dans $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.1.2

Divisez $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ par $1$ .

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.2.2.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.2.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.3

Pour écrire $- 2$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.4

Associez $- 2$ et $\frac{3}{3}$ .

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.6.1

Multipliez $- 2$ par $3$ .

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.6.2

Soustrayez $1$ de $- 6$ .

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.8

Pour écrire $- 4$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.9

Associez $- 4$ et $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.10

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.11

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.2.11.1

Multipliez $- 4$ par $3$ .

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.11.2

Soustrayez $12$ de $- 7$ .

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.2.12

Placez le signe moins devant la fraction.

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Étape 6.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Divisez $0$ par $- 1$ .

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

Étape 6.3

Pour résoudre $K$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

Étape 6.4

Réécrivez $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

Étape 6.5

Résolvez $K$ .

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Étape 6.5.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ .

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

Étape 6.5.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$- \frac{19}{3} + K = 1$

Étape 6.5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.5.3.1

Ajoutez $\frac{19}{3}$ aux deux côtés de l’équation.

$K = 1 + \frac{19}{3}$

Étape 6.5.3.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Étape 6.5.3.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$K = \frac{3 + 19}{3}$

Étape 6.5.3.4

Additionnez $3$ et $19$ .

$K = \frac{22}{3}$

Étape 7

Remplacez $K$ par $\frac{22}{3}$ dans $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $\frac{22}{3}$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$