Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = {(2 + y)}^{2}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de ${(2 + y)}^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 + y$ . Puis $d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 + y$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + y$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 1$

Étape 2.2.1.1.5

Additionnez $0$ et $1$ .

$1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Étape 2.2.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.4

Réécrivez $- u^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.2.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 + y, 1, 1$

Étape 3.1.2

Supprimez les parenthèses.

$2 + y, 1, 1$

Étape 3.1.3

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 + y$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ par $2 + y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ par $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 + y$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 + y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = x (2 + y) + K (2 + y)$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = x \cdot 2 + x y + K (2 + y)$

Étape 3.2.3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$- 1 = 2 \cdot x + x y + K (2 + y)$

Étape 3.2.3.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- 1 = 2 x + x y + K \cdot 2 + K y$

Étape 3.2.3.1.4

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$- 1 = 2 x + x y + 2 K + K y$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $2 x + x y + 2 K + K y = - 1$ .

$2 x + x y + 2 K + K y = - 1$

Étape 3.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 3.3.2.1

Soustrayez $2 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y + 2 K + K y = - 1 - 2 x$

Étape 3.3.2.2

Soustrayez $2 K$ des deux côtés de l’équation.

$x y + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Étape 3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $x y + K y$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$y x + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y x + y K = - 1 - 2 x - 2 K$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $y$ à partir de $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$

Étape 3.3.4

Divisez chaque terme dans $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ par $x + K$ et simplifiez.

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Étape 3.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ par $x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x + K$ .

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Étape 3.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.3.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 - 2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{- 1 - 2 x - 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2.3

Réécrivez $- 1$ comme $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 x - 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 x) - 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1) - (2 x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - 2 K}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - (2 K)}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (1 + 2 x) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x + 2 K)}{x + K}$

Étape 3.3.4.3.2.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1 + 2 x + 2 K}{x + K}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{1 + 2 x + K}{x + K}$