Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t y}{t^{2} + 1}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1} y$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (\frac{8 t}{t^{2} + 1} y)$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{8 t}{t^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{1}{y} (y \frac{8 t}{t^{2} + 1})$

Étape 1.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d t} = \frac{8 t}{t^{2} + 1}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{8 t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{t}{t^{2} + 1} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Alors $d u = 2 t d t$ , donc $\frac{1}{2} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = t^{2} + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $t^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2} + 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $t^{2} + 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.2.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 t + \frac{d}{d t} [1]$

Étape 2.3.2.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$2 t + 0$

Étape 2.3.2.1.5

Additionnez $2 t$ et $0$ .

$2 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int \frac{1}{2 u} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.5.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{u} d u$

Étape 2.3.6

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\ln (| u |) + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| u |) + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $t^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = 4 \ln (| t^{2} + 1 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |) = C$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Simplifiez $\ln (| y |) - 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ .

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.1

Simplifiez $- 4 \ln (| t^{2} + 1 |)$ en déplaçant $4$ dans le logarithme.

$\ln (| y |) - \ln ({| t^{2} + 1 |}^{4}) = C$

Étape 3.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| t^{2} + 1 |}^{4}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (| y |) - \ln ({(t^{2} + 1)}^{4}) = C$

Étape 3.2.1.2

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}})} = e^{C}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}}$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} = e^{C}$

Étape 3.5.2

Multipliez les deux côtés par ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Étape 3.5.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.3.1

Annulez le facteur commun de ${(t^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 3.5.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| y |}{{(t^{2} + 1)}^{4}} {(t^{2} + 1)}^{4} = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Étape 3.5.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| y | = e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$

Étape 3.5.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.4.1

Simplifiez $e^{C} {(t^{2} + 1)}^{4}$ .

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Étape 3.5.4.1.1

Utilisez le théorème du binôme.

$| y | = e^{C} ({(t^{2})}^{4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.5.4.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.4.1.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{4}$ .

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Étape 3.5.4.1.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{2 \cdot 4} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.1.2

Multipliez $2$ par $4$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 {(t^{2})}^{3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{3}$ .

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Étape 3.5.4.1.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{2 \cdot 3} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $3$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} \cdot 1 + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 {(t^{2})}^{2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.4

Multipliez les exposants dans ${(t^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.5.4.1.2.1.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{2 \cdot 2} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.4.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1^{2} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.5

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} \cdot 1 + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.6

Multipliez $6$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1^{3} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.7

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} \cdot 1 + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.8

Multipliez $4$ par $1$ .

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1^{4})$

Étape 3.5.4.1.2.1.9

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$| y | = e^{C} (t^{8} + 4 t^{6} + 6 t^{4} + 4 t^{2} + 1)$

Étape 3.5.4.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$| y | = e^{C} t^{8} + e^{C} (4 t^{6}) + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Étape 3.5.4.1.3

Simplifiez

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Étape 3.5.4.1.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + e^{C} (6 t^{4}) + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Étape 3.5.4.1.3.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + e^{C} (4 t^{2}) + e^{C} \cdot 1$

Étape 3.5.4.1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C} \cdot 1$

Étape 3.5.4.1.3.4

Multipliez $e^{C}$ par $1$ .

$| y | = e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$

Étape 3.5.4.1.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{C} t^{8} + 4 e^{C} t^{6} + 6 e^{C} t^{4} + 4 e^{C} t^{2} + e^{C}$ .

$| y | = t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C}$

Étape 3.5.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm (t^{8} e^{C} + 4 t^{6} e^{C} + 6 t^{4} e^{C} + 4 t^{2} e^{C} + e^{C})$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \pm (t^{8} C + 4 t^{6} C + 6 t^{4} C + 4 t^{2} C + C)$