Calcul infinitésimal Exemples

$(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x - 2 y - 1$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x - 2 y - 1]$

Étape 1.2

Différenciez.

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Étape 1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 2 y - 1$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.2.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [- 2 y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [- 2 y]$ .

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Étape 1.3.1

Comme $- 2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 2 y$ par rapport à $y$ est $- 2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.3.3

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + \frac{d}{d y} [- 1]$

Étape 1.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $y$ est $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 - 2 + 0$

Étape 1.5

Associez des termes.

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Étape 1.5.1

Soustrayez $2$ de $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2 + 0$

Étape 1.5.2

Additionnez $- 2$ et $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - 2$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = - (x - 3)$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (x - 3)]$

Étape 2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- (x - 3)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x - 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 2.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + \frac{d}{d x} [- 3])$

Étape 2.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (1 + 0)$

Étape 2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.6.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1 \cdot 1$

Étape 2.6.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - 1$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$- 2 = - 1$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$- 2 = - 1$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $- 2$ .

$\frac{- 2 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 + 1}{N}$

Étape 4.3

Remplacez $N$ par $- (x - 3)$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $N$ par $- (x - 3)$ .

$\frac{- 2 + 1}{- (x - 3)}$

Étape 4.3.2

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\frac{- 1}{- (x - 3)}$

Étape 4.3.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{1}{x - 3}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{1}{x - 3} d x}$ .

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Étape 5.1

Laissez $u = x - 3$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1.1

Laissez $u = x - 3$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Différenciez $x - 3$ .

$\frac{d}{d x} [x - 3]$

Étape 5.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 3$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 3]$

Étape 5.1.1.4

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 5.1.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 5.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{1}{u} d u}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |) + C}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{\ln (| u |)} + C$

Étape 5.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = | u | + C$

Étape 5.5

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - 3$ .

$μ (x, y) = | x - 3 | + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $(x - 2 y - 1) d x - (x - 3) d y = 0$ par le facteur d’intégration $x - 3$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x - 2 y - 1$ par $x - 3$ .

$(x - 2 y - 1) (x - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.2

Développez $(x - 2 y - 1) (x - 3)$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$(x \cdot x + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} + x \cdot - 3 - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.3.2

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$(x^{2} - 3 \cdot x - 2 y x - 2 y \cdot - 3 - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.3.3

Multipliez $- 3$ par $- 2$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - 1 x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.3.4

Réécrivez $- 1 x$ comme $- x$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x - 1 \cdot - 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.3.5

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$(x^{2} - 3 x - 2 y x + 6 y - x + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.4

Soustrayez $x$ de $- 3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $- (x - 3)$ par $x - 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x - (x - 3) (x - 3) d y = 0$

Étape 6.6

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x - - 3) (x - 3) d y = 0$

Étape 6.7

Multipliez $- 1$ par $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x + 3) (x - 3) d y = 0$

Étape 6.8

Développez $(- x + 3) (x - 3)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 6.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x (x - 3) + 3 (x - 3)) d y = 0$

Étape 6.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 (x - 3)) d y = 0$

Étape 6.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x \cdot x - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Étape 6.9

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 6.9.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.9.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.9.1.1.1

Déplacez $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- (x \cdot x) - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Étape 6.9.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} - x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Étape 6.9.1.2

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3) d y = 0$

Étape 6.9.1.3

Multipliez $3$ par $- 3$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 3 x + 3 x - 9) d y = 0$

Étape 6.9.2

Additionnez $3 x$ et $3 x$ .

$(x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3) d x + (- x^{2} + 6 x - 9) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int - x^{2} + 6 x - 9 d y$

Étape 8

Intégrez $N (x, y) = - x^{2} + 6 x - 9$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Appliquez la règle de la constante.

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (x)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $x$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $(- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [(- x^{2} + 6 x - 9) y]$ .

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Étape 11.3.1

Comme $y$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $(- x^{2} + 6 x - 9) y$ par rapport à $x$ est $y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9]$ .

$y \frac{d}{d x} [- x^{2} + 6 x - 9] + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $- x^{2} + 6 x - 9$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$y (\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y (- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y (- (2 x) + \frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.5

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- (2 x) + 6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9]) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.7

Comme $- 9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $x$ est $0$ .

$y (- (2 x) + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.8

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y (- 2 x + 6 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.9

Multipliez $6$ par $1$ .

$y (- 2 x + 6 + 0) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.3.10

Additionnez $- 2 x + 6$ et $0$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d}{d x} [g (x)] = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (x)$ est $\frac{d g}{d x}$ .

$y (- 2 x + 6) + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.5

Simplifiez

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Étape 11.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$y (- 2 x) + y \cdot 6 + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.5.2

Déplacez $6$ à gauche de $y$ .

$y (- 2 x) + 6 y + \frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 11.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d x} - 2 x y + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d x}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d x}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} + 6 y = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y$

Étape 12.1.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Étape 12.1.3

Associez les termes opposés dans $x^{2} - 4 x - 2 y x + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$ .

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Étape 12.1.3.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $- 2 y x$ et $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x - 2 x y + 6 y + 3 + 2 x y - 6 y$

Étape 12.1.3.2

Additionnez $- 2 x y$ et $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 + 0 - 6 y$

Étape 12.1.3.3

Additionnez $x^{2} - 4 x + 6 y + 3$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 6 y + 3 - 6 y$

Étape 12.1.3.4

Soustrayez $6 y$ de $6 y$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 0 + 3$

Étape 12.1.3.5

Additionnez $x^{2} - 4 x$ et $0$ .

$\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$

Étape 13

Déterminez la primitive de $x^{2} - 4 x + 3$ afin de déterminer $g (x)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d x} = x^{2} - 4 x + 3$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int x^{2} - 4 x + 3 d x$

Étape 13.3

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$g (x) = \int x^{2} d x + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Étape 13.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C + \int - 4 x d x + \int 3 d x$

Étape 13.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 4$ en dehors de l’intégrale.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 \int x d x + \int 3 d x$

Étape 13.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int 3 d x$

Étape 13.7

Appliquez la règle de la constante.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + 3 x + C$

Étape 13.8

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} + C - 4 (\frac{x^{2}}{2} + C) + 3 x + C$

Étape 13.9

Simplifiez

$g (x) = \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Étape 13.10

Remettez les termes dans l’ordre.

$g (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Étape 14

Remplacez par $g (x)$ dans $f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + g (x)$ .

$f (x, y) = (- x^{2} + 6 x - 9) y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Appliquez la propriété distributive.

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{1}{3} x^{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$

Étape 15.2

Associez $\frac{1}{3}$ et $x^{3}$ .

$f (x, y) = - x^{2} y + 6 x y - 9 y + \frac{x^{3}}{3} - 2 x^{2} + 3 x + C$