Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Étape 1.2.2

Associez $4$ et $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $y^{3}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $y^{3}$ à partir de $y^{3} \cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.1.1

Retirez $y^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2.1.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 3}$ par rapport à $y$ est $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.2.3.1

Réécrivez $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{y^{2}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.2.3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

Étape 2.3.2

Utilisez la formule de l’angle moitié pour réécrire $\cos^{2} (x)$ en $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 2.3.4.2

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 2.3.4.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 2.3.4.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 2.3.4.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 2.3.4.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 2.3.4.2.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

Étape 2.3.5

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 2.3.6

Appliquez la règle de la constante.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Étape 2.3.7

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.7.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.7.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 2.3.7.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.3.7.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.3.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Étape 2.3.8

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Étape 2.3.9

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Étape 2.3.10

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Étape 2.3.11

Simplifiez

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Étape 2.3.12

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Étape 2.3.13

Simplifiez

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Étape 2.3.13.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Étape 2.3.13.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.13.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.3.13.3.1

Annulez le facteur commun.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Étape 2.3.13.3.2

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 3.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

Étape 3.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$2 y^{2}$

Étape 3.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ par $2 y^{2}$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 3.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ par $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2 y^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 y^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.3.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.2.3.1.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Étape 3.2.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

Étape 3.2.3.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

Étape 3.2.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

Étape 3.3

Résolvez l’équation.

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Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ .

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Étape 3.3.2

Factorisez $2 y^{2}$ à partir de $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ .

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Étape 3.3.2.1

Factorisez $2 y^{2}$ à partir de $4 x y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Étape 3.3.2.2

Factorisez $2 y^{2}$ à partir de $2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Étape 3.3.2.3

Factorisez $2 y^{2}$ à partir de $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

Étape 3.3.2.4

Factorisez $2 y^{2}$ à partir de $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

Étape 3.3.2.5

Factorisez $2 y^{2}$ à partir de $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

Étape 3.3.3

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ par $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ et simplifiez.

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Étape 3.3.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ par $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Étape 3.3.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Étape 3.3.3.2.2

Annulez le facteur commun de $2 x + \sin (2 x) + K$ .

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Étape 3.3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Étape 3.3.3.2.2.2

Divisez $y^{2}$ par $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Étape 3.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Étape 3.3.4

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Étape 3.3.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.3.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Étape 3.3.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Étape 3.3.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$