Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 - y$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 1 - y$ . Alors $d u_{1} = - d y$ , donc $- d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 1 - y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.2.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2.2.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 1 - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Réécrivez.

$\frac{- 1}{1}$

Étape 2.3.1.1.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Étape 3.2

Soustrayez $\ln (| 1 - x |)$ des deux côtés de l’équation.

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

Étape 3.3

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.3.1

Divisez chaque terme dans $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ par $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Étape 3.3.2.2

Divisez $\ln (| 1 - y |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot C$ comme $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Étape 3.3.3.1.3

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

Étape 3.3.3.1.4

Divisez $\ln (| 1 - x |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

Étape 3.5

Utilisez la propriété du quotient des logarithmes, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

Étape 3.6

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

Étape 3.7

Réécrivez $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

Étape 3.8

Résolvez $y$ .

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Étape 3.8.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

Étape 3.8.2

Multipliez les deux côtés par $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Étape 3.8.3

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.3.1

Annulez le facteur commun de $| 1 - x |$ .

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Étape 3.8.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Étape 3.8.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

Étape 3.8.4

Résolvez $y$ .

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Étape 3.8.4.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{- C} | 1 - x |$ .

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

Étape 3.8.4.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

Étape 3.8.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm | 1 - x | e^{- C}$ .

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

Étape 3.8.4.4

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

Étape 3.8.4.5

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 3.8.4.5.1

Divisez chaque terme dans $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ par $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.8.4.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.4.5.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.8.4.5.2.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.8.4.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.4.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.4.5.3.1.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.8.4.5.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ comme $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Étape 3.8.4.5.3.1.3

Divisez $- 1$ par $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

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Étape 4.1

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

Étape 4.2

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = - (C | 1 - x |) + 1$