Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d t} = 8 t + 6 t^{2}$ , $y (1) = 2$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (8 t + 6 t^{2}) d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int 8 t + 6 t^{2} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int 8 t d t + \int 6 t^{2} d t$

Étape 2.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $t$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 8 \int t d t + \int 6 t^{2} d t$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{2} t^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + \int 6 t^{2} d t$

Étape 2.3.4

Comme $6$ est constant par rapport à $t$ , placez $6$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 \int t^{2} d t$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $t^{2}$ par rapport à $t$ est $\frac{1}{3} t^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2} t^{2} + C_{2}) + 6 (\frac{1}{3} t^{3} + C_{3})$

Étape 2.3.6

Simplifiez

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Étape 2.3.6.1

Simplifiez

$y + C_{1} = 8 (\frac{1}{2}) t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2

Simplifiez

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Étape 2.3.6.2.1

Associez $8$ et $\frac{1}{2}$ .

$y + C_{1} = \frac{8}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2

Annulez le facteur commun à $8$ et $2$ .

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Étape 2.3.6.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 (1)} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot 4}{2 \cdot 1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = \frac{4}{1} t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 6 (\frac{1}{3}) t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.3

Associez $6$ et $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{6}{3} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 2.3.6.2.4.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.6.2.4.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 (1)} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$y + C_{1} = 4 t^{2} + \frac{2}{1} t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.6.2.4.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y + C_{1} = 4 t^{2} + 2 t^{3} + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$y + C_{1} = 2 t^{3} + 4 t^{2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$

Étape 3

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $t$ par $1$ et $y$ par $2$ dans $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ .

$2 = 2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$

Étape 4

Résolvez $K$ .

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Étape 4.1

Réécrivez l’équation comme $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$ .

$2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Étape 4.2

Simplifiez $2 \cdot 1^{3} + 4 \cdot 1^{2} + K$ .

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Étape 4.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 4.2.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 \cdot 1 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Étape 4.2.1.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + 4 \cdot 1^{2} + K = 2$

Étape 4.2.1.3

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$2 + 4 \cdot 1 + K = 2$

Étape 4.2.1.4

Multipliez $4$ par $1$ .

$2 + 4 + K = 2$

Étape 4.2.2

Additionnez $2$ et $4$ .

$6 + K = 2$

Étape 4.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 4.3.1

Soustrayez $6$ des deux côtés de l’équation.

$K = 2 - 6$

Étape 4.3.2

Soustrayez $6$ de $2$ .

$K = - 4$

Étape 5

Remplacez $K$ par $- 4$ dans $y = 2 t^{3} + 4 t^{2} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Remplacez $K$ par $- 4$ .

$y = 2 t^{3} + 4 t^{2} - 4$