Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$ , $y (- 2) = 0$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}}$

Étape 1.2

Multipliez les deux côtés par $e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} (\frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} \cdot \frac{1}{e^{2 y}})$

Étape 1.3

Simplifiez

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Étape 1.3.1

Associez.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}}$

Étape 1.3.2

Annulez le facteur commun de $e^{2 y}$ .

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Étape 1.3.2.1

Factorisez $e^{2 y}$ à partir de ${(2 + 3 x)}^{2} e^{2 y}$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Étape 1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = e^{2 y} \frac{12 \cdot 1}{e^{2 y} {(2 + 3 x)}^{2}}$

Étape 1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12 \cdot 1}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Étape 1.3.3

Multipliez $12$ par $1$ .

$e^{2 y} \frac{d y}{d x} = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}}$

Étape 1.4

Réécrivez l’équation.

$e^{2 y} d y = \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int e^{2 y} d y = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Alors $d u_{1} = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 2 y$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Étape 2.2.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Étape 2.2.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 2.2.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{1}) = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{2} e^{u_{1}} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $2 y$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \int \frac{12}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $12$ est constant par rapport à $x$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{(2 + 3 x)}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u_{2} = 2 + 3 x$ . Alors $d u_{2} = 3 d x$ , donc $\frac{1}{3} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u_{2} = 2 + 3 x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $2 + 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 + 3 x]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 + 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [3 x]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + 3 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + 3 \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$0 + 3$

Étape 2.3.2.1.4

Additionnez $0$ et $3$ .

$3$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} \cdot \frac{1}{3} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $\frac{1}{{u_{2}}^{2}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2} \cdot 3} d u_{2}$

Étape 2.3.3.2

Déplacez $3$ à gauche de ${u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 \int \frac{1}{3 {u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 12 (\frac{1}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.5.1

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $12$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{12}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2

Annulez le facteur commun à $12$ et $3$ .

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Étape 2.3.5.1.2.1

Factorisez $3$ à partir de $12$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.3.5.1.2.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 (1)} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{3 \cdot 4}{3 \cdot 1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{4}{1} \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.1.2.2.4

Divisez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.2.1

Retirez ${u_{2}}^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez les exposants dans ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Étape 2.3.5.2.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de ${u_{2}}^{- 2}$ par rapport à $u_{2}$ est $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $4 (- {u_{2}}^{- 1} + C_{2})$ comme $4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = 4 (- \frac{1}{u_{2}}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - 4 \frac{1}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $- 4$ et $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = \frac{- 4}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{u_{2}} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $2 + 3 x$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} + C_{1} = - \frac{4}{2 + 3 x} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} e^{2 y} = - \frac{4}{2 + 3 x} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} e^{2 y}) = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} e^{2 y})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $e^{2 y}$ .

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{e^{2 y}}{2} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2 + 3 x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = 2 (- \frac{4}{2 + 3 x} + \frac{K (2 + 3 x)}{2 + 3 x})$

Étape 3.2.2.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K (2 + 3 x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + K \cdot 2 + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Déplacez $2$ à gauche de $K$ .

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 \cdot K + K (3 x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$e^{2 y} = 2 \frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.4.1

Associez $2$ et $\frac{- 4 + 2 K + 3 K x}{2 + 3 x}$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 4 + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Réécrivez $- 4$ comme $- 1 (4)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) + 2 K + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.4.3

Factorisez $- 1$ à partir de $2 K$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4) - (- 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.4.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4) - (- 2 K)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) + 3 K x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.4.5

Factorisez $- 1$ à partir de $3 K x$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x))}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.4.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- 1 (4 - 2 K) - (- 3 K x)$ .

$e^{2 y} = \frac{2 (- 1 (4 - 2 K - 3 K x))}{2 + 3 x}$

Étape 3.2.2.1.4.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$e^{2 y} = - \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x}$

Étape 3.3

Prenez le logarithme naturel des deux côtés de l’équation pour retirer la variable de l’exposant.

$\ln (e^{2 y}) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Étape 3.4

Développez le côté gauche.

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Étape 3.4.1

Développez $\ln (e^{2 y})$ en déplaçant $2 y$ hors du logarithme.

$2 y \ln (e) = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Étape 3.4.2

Le logarithme naturel de $e$ est $1$ .

$2 y \cdot 1 = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Étape 3.4.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$

Étape 3.5

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.5.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (4 - 2 K - 3 K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $- 2$ et $y$ par $0$ dans $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ .

$0 = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})}{2}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Définissez le numérateur égal à zéro.

$\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$

Étape 6.2

Résolvez l’équation pour $K$ .

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Étape 6.2.1

Pour résoudre $K$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2})} = e^{0}$

Étape 6.2.2

Réécrivez $\ln (- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}) = 0$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$

Étape 6.2.3

Résolvez $K$ .

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Étape 6.2.3.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ .

$- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$

Étape 6.2.3.2

Divisez chaque terme dans $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ par $- 1$ et simplifiez.

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Étape 6.2.3.2.1

Divisez chaque terme dans $- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = e^{0}$ par $- 1$ .

$\frac{- \frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{- 1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.2.2.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.2.1.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}}{1} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.1.2

Divisez $\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2}$ par $1$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 + 3 \cdot - 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.1.3

Annulez le facteur commun à $2$ et $2 + 3 \cdot - 2$ .

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Étape 6.2.3.2.2.1.3.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 6.2.3.2.2.1.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) - 2 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.1.3.2.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 \cdot 3$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.1.3.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (1) + 2 (- 1 \cdot 3)$ .

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.1.3.2.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (K + K \cdot - 2)}{2 (1 - 1 \cdot 3)} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.1.3.2.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{K + K \cdot - 2}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.2.3.2.2.2.1

Déplacez $- 2$ à gauche de $K$ .

$\frac{K - 2 \cdot K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.2.2

Soustrayez $2 K$ de $K$ .

$\frac{- K}{1 - 1 \cdot 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.2.3.2.2.3.1

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$\frac{- K}{1 - 3} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.3.2

Soustrayez $3$ de $1$ .

$\frac{- K}{- 2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.2.4

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{K}{2} = \frac{e^{0}}{- 1}$

Étape 6.2.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.2.3.1

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{e^{0}}{- 1}$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot e^{0}$

Étape 6.2.3.2.3.2

Réécrivez $- 1 \cdot e^{0}$ comme $- e^{0}$ .

$\frac{K}{2} = - e^{0}$

Étape 6.2.3.2.3.3

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1 \cdot 1$

Étape 6.2.3.2.3.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{K}{2} = - 1$

Étape 6.2.3.3

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.4

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.2.3.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.3.4.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.3.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{K}{2} = 2 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$K = 2 \cdot - 1$

Étape 6.2.3.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.3.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$K = - 2$

Étape 7

Remplacez $K$ par $- 2$ dans $y = \frac{\ln (- \frac{2 (K + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $- 2$ .

$y = \frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$

Étape 7.2

Réécrivez $\frac{\ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}{2}$ comme $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ .

$y = \frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$

Étape 7.3

Simplifiez $\frac{1}{2} \ln (- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})$ en déplaçant $\frac{1}{2}$ dans le logarithme.

$y = \ln ({(- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.4

Utilisez la règle de puissance ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ pour distribuer l’exposant.

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Étape 7.4.1

Appliquez la règle de produit à $- \frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} {(\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x})}^{\frac{1}{2}})$

Étape 7.4.2

Appliquez la règle de produit à $\frac{2 (- 2 + K x)}{2 + 3 x}$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{{(2 (- 2 + K x))}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.4.3

Appliquez la règle de produit à $2 (- 2 + K x)$ .

$y = \ln ({(- 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.5

Réécrivez ${(- 1)}^{\frac{1}{2}}$ comme $\sqrt{{(- 1)}^{1}}$ .

$y = \ln (\sqrt{{(- 1)}^{1}} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.6

Évaluez l’exposant.

$y = \ln (\sqrt{- 1} \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.7

Réécrivez $\sqrt{- 1}$ comme $i$ .

$y = \ln (i \frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$

Étape 7.8

Associez $i$ et $\frac{2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \ln (\frac{i \cdot 2^{\frac{1}{2}} {(- 2 + K x)}^{\frac{1}{2}}}{{(2 + 3 x)}^{\frac{1}{2}}})$