Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 20$ .

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Étape 1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.2.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.3

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ par $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 1.2.4.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ par $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.2

Élevez $\sqrt{2 (y + 10)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.3

Élevez $\sqrt{2 (y + 10)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.6

Réécrivez ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ comme $2 (y + 10)$ .

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Étape 1.2.4.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (y + 10)}$ comme ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.6.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.6.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.4.6.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.6.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.4.6.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.5

Associez $7$ et $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Étape 1.2.6

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 20$ .

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Étape 1.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

Étape 1.2.6.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

Étape 1.2.6.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

Étape 1.2.7

Multipliez $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ .

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Étape 1.2.7.1

Associez $x$ et $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.7.2

Associez $\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ et $\sqrt{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.7.3

Élevez $\sqrt{2 (y + 10)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.7.4

Élevez $\sqrt{2 (y + 10)}$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.7.5

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.7.6

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.2.8.1

Réécrivez ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ comme $2 (y + 10)$ .

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Étape 1.2.8.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 (y + 10)}$ comme ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.1.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.1.3

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 1.2.8.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.1.5

Simplifiez

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 20$ .

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Étape 1.2.8.4.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.4.2

Factorisez $2$ à partir de $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.4.3

Factorisez $2$ à partir de $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.8.5

Multipliez $2$ par $7$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.9

Annulez le facteur commun à $14$ et $2$ .

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Étape 1.2.9.1

Factorisez $2$ à partir de $x \cdot 14 (y + 10)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.9.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.2.9.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Étape 1.2.9.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Étape 1.2.10

Annulez le facteur commun de $y + 10$ .

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Étape 1.2.10.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Étape 1.2.10.2

Divisez $x \cdot 7$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

Étape 1.2.11

Déplacez $7$ à gauche de $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u = 2 y + 20$ . Alors $d u = 2 d y$ , donc $\frac{1}{2} d u = d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u = 2 y + 20$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $2 y + 20$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 y + 20$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $y$ est $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $20$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $20$ par rapport à $y$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{\sqrt{u}}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.4

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{u}$ comme $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.4.2

Retirez $u^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.4.3

Multipliez les exposants dans ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.4.3.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.4.3.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.4.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Étape 2.2.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- \frac{1}{2}}$ par rapport à $u$ est $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

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Étape 2.2.6.1

Réécrivez $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ comme $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.2.6.2

Simplifiez

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Étape 2.2.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.2.6.2.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.2.6.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.2.6.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.2.6.2.3

Multipliez $u^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 y + 20$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , placez $7$ en dehors de l’intégrale.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

Étape 2.3.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Étape 2.3.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 2.3.3.1

Réécrivez $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ comme $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Étape 2.3.3.2

Associez $7$ et $\frac{1}{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Étape 3.2

Simplifiez l’exposant.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.2.1.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Étape 3.2.1.1.2

Simplifiez

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez ${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez les fractions.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Associez $\frac{7}{2}$ et $x^{2}$ .

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

Étape 3.2.2.1.1.2

Réécrivez ${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ comme $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ .

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Développez $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Étape 3.2.2.1.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.3.1.1

Associez.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.2.1.3.1.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.2.3

Additionnez $2$ et $2$ .

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.3

Multipliez $7$ par $7$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.4

Multipliez $2$ par $2$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.5

Associez $\frac{7 x^{2}}{2}$ et $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.6

Associez $K$ et $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

Étape 3.2.2.1.3.1.7

Déplacez $7$ à gauche de $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

Étape 3.2.2.1.3.1.8

Multipliez $K$ par $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Étape 3.2.2.1.3.2

Additionnez $\frac{7 x^{2} K}{2}$ et $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

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Étape 3.2.2.1.3.2.1

Déplacez $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Étape 3.2.2.1.3.2.2

Additionnez $\frac{7 K x^{2}}{2}$ et $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Étape 3.2.2.1.4

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.2.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Étape 3.2.2.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.3.1

Soustrayez $20$ des deux côtés de l’équation.

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

Étape 3.3.2

Divisez chaque terme dans $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.3.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Étape 3.3.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.3.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Étape 3.3.2.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Étape 3.3.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.2.3.1.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Étape 3.3.2.3.1.2

Associez.

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Étape 3.3.2.3.1.3

Multipliez $49$ par $1$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Étape 3.3.2.3.1.4

Multipliez $4$ par $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Étape 3.3.2.3.1.5

Divisez $- 20$ par $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $5$ dans $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ .

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ .

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Étape 6.2

Simplifiez $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ .

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Étape 6.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.2.1.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Étape 6.2.1.2

Multipliez $49$ par $0$ .

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Étape 6.2.1.3

Divisez $0$ par $8$ .

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Étape 6.2.1.4

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

Étape 6.2.1.5

Multipliez $K$ par $0$ .

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

Étape 6.2.1.6

Divisez $0$ par $2$ .

$0 + 0 + K = 5$

Étape 6.2.2

Associez les termes opposés dans $0 + 0 + K$ .

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Étape 6.2.2.1

Additionnez $0$ et $0$ .

$0 + K = 5$

Étape 6.2.2.2

Additionnez $0$ et $K$ .

$K = 5$

Étape 7

Remplacez $K$ par $5$ dans $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $5$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$