Calcul infinitésimal Exemples

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 e^{5 x} y = \sin (8 x)$

Étape 1

Vérifiez si le côté gauche de l’équation est le résultat de la dérivée du terme $e^{5 x} y$ .

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Étape 1.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{5 x}$ et $g (x) = y$ .

$e^{5 x} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 1.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{5 x} y' + y \frac{d}{d x} [e^{5 x}]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 5 x$ .

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Étape 1.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 x$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \frac{d}{d x} [5 x])$

Étape 1.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 1.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} (5 \cdot 1))$

Étape 1.6

Multipliez $5$ par $1$ .

$e^{5 x} y' + y (e^{5 x} \cdot 5)$

Étape 1.7

Déplacez $5$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$e^{5 x} y' + y (5 e^{5 x})$

Étape 1.8

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y (5 e^{5 x})$

Étape 1.9

Supprimez les parenthèses.

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + y \cdot 5 e^{5 x}$

Étape 1.10

Remettez dans l’ordre $y$ et $5$ .

$e^{5 x} \frac{d y}{d x} + 5 \cdot y e^{5 x}$

Étape 2

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{5 x} y] = \sin (8 x)$

Étape 3

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{5 x} y] d x = \int \sin (8 x) d x$

Étape 4

Intégrez le côté gauche.

$e^{5 x} y = \int \sin (8 x) d x$

Étape 5

Intégrez le côté droit.

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Étape 5.1

Laissez $u = 8 x$ . Alors $d u = 8 d x$ , donc $\frac{1}{8} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 5.1.1

Laissez $u = 8 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 5.1.1.1

Différenciez $8 x$ .

$\frac{d}{d x} [8 x]$

Étape 5.1.1.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $8 x$ par rapport à $x$ est $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$8 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 5.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$8 \cdot 1$

Étape 5.1.1.4

Multipliez $8$ par $1$ .

$8$

Étape 5.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{5 x} y = \int \sin (u) \frac{1}{8} d u$

Étape 5.2

Associez $\sin (u)$ et $\frac{1}{8}$ .

$e^{5 x} y = \int \frac{\sin (u)}{8} d u$

Étape 5.3

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} \int \sin (u) d u$

Étape 5.4

L’intégrale de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $- \cos (u)$ .

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u) + C)$

Étape 5.5

Simplifiez

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Étape 5.5.1

Simplifiez

$e^{5 x} y = \frac{1}{8} (- \cos (u)) + C$

Étape 5.5.2

Associez $\frac{1}{8}$ et $\cos (u)$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (u)}{8} + C$

Étape 5.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $8 x$ .

$e^{5 x} y = - \frac{\cos (8 x)}{8} + C$

Étape 5.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$

Étape 6

Divisez chaque terme dans $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ par $e^{5 x}$ et simplifiez.

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Étape 6.1

Divisez chaque terme dans $e^{5 x} y = - \frac{1}{8} \cos (8 x) + C$ par $e^{5 x}$ .

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 6.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{5 x}$ .

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Étape 6.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{5 x} y}{e^{5 x}} = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 6.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- \frac{1}{8} \cos (8 x)}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 6.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1

Associez $\cos (8 x)$ et $\frac{1}{8}$ .

$y = \frac{- \frac{\cos (8 x)}{8}}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 6.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8} \cdot \frac{1}{e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 6.3.1.3

Multipliez $\frac{1}{e^{5 x}}$ par $\frac{\cos (8 x)}{8}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{e^{5 x} \cdot 8} + \frac{C}{e^{5 x}}$

Étape 6.3.1.4

Déplacez $8$ à gauche de $e^{5 x}$ .

$y = - \frac{\cos (8 x)}{8 e^{5 x}} + \frac{C}{e^{5 x}}$