Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})}$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} (\frac{1}{4} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$

Étape 1.2

Simplifiez

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Étape 1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1.2.2

Associez.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1.2.3

Annulez le facteur commun de $\sqrt{y}$ .

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Étape 1.2.3.1

Factorisez $\sqrt{y}$ à partir de $4 (\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\sqrt{y} (4 (\cos^{2} (\sqrt{y})))} \sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1.2.4

Annulez le facteur commun de $\cos^{2} (\sqrt{y})$ .

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Étape 1.2.4.1

Factorisez $\cos^{2} (\sqrt{y})$ à partir de $4 (\cos^{2} (\sqrt{y}))$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1.2.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 4} \cos^{2} (\sqrt{y})$

Étape 1.2.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1 \cdot 1}{4}$

Étape 1.2.5

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{4}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \frac{1}{4} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Simplifiez

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Étape 2.2.1.1

Multipliez par $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} (\cos^{2} (\sqrt{y}) \cdot 1)} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.1.2

Séparez les fractions.

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\cos^{2} (\sqrt{y})}$ à $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y} \cdot (1)} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.1.4

Multipliez $\sqrt{y}$ par $1$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{y}} \sec^{2} (\sqrt{y}) d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.1.5

Associez $\frac{1}{\sqrt{y}}$ et $\sec^{2} (\sqrt{y})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\sqrt{y})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.2

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.2.2.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{\sqrt{y}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.2.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (y^{\frac{1}{2}})}{y^{\frac{1}{2}}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.2.3

Retirez $y^{\frac{1}{2}}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) {(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.2.4

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Étape 2.2.2.4.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.2.4.2

Associez $\frac{1}{2}$ et $- 1$ .

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{\frac{- 1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.2.4.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$\int \sec^{2} (y^{\frac{1}{2}}) y^{- \frac{1}{2}} d y = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.3

Laissez $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Alors $d u = \frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ , donc $- d u = \frac{- 1}{2 y^{\frac{1}{2}}} d y$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.3.1

Laissez $u = y^{\frac{1}{2}}$ . Déterminez $\frac{d u}{d y}$ .

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Étape 2.2.3.1.1

Différenciez $y^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [y^{\frac{1}{2}}]$

Étape 2.2.3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1}$

Étape 2.2.3.1.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Étape 2.2.3.1.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.2.3.1.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}$

Étape 2.2.3.1.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 2.2.3.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}}$

Étape 2.2.3.1.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}}$

Étape 2.2.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}}$

Étape 2.2.3.1.8

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1.8.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.3.1.8.2

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 2.2.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\int 2 \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $u$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \sec^{2} (u) d u = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.5

Comme la dérivée de $\tan (u)$ est $\sec^{2} (u)$ , l’intégrale de $\sec^{2} (u)$ est $\tan (u)$ .

$2 (\tan (u) + C_{1}) = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$2 \tan (u) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.2.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y^{\frac{1}{2}}$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \int \frac{1}{4} d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) + C_{1} = \frac{1}{4} x + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1.1

Divisez chaque terme dans $2 \tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{1}{4} x + K$ par $2$ .

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.1.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \tan (y^{\frac{1}{2}})}{2} = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.2.1.2

Divisez $\tan (y^{\frac{1}{2}})$ par $1$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{1}{4} x}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.1.3.1.1

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{\frac{x}{4}}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.3

Multipliez $\frac{x}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Étape 3.1.3.1.3.1

Multipliez $\frac{x}{4}$ par $\frac{1}{2}$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{4 \cdot 2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.1.3.1.3.2

Multipliez $4$ par $2$ .

$\tan (y^{\frac{1}{2}}) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Remplacez $y^{\frac{1}{2}}$ par $u$ .

$\tan (u) = \frac{x}{8} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3

Remettez dans l’ordre $\frac{x}{8}$ et $\frac{K}{2}$ .

$\tan (u) = \frac{K}{2} + \frac{x}{8}$

Étape 3.4

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $u$ de l’intérieur de la tangente.

$u = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

Étape 3.5

Remplacer $u$ par $y^{\frac{1}{2}}$ et résoudre $y^{\frac{1}{2}} = \arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})$

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Étape 3.5.1

Élevez chaque côté de l’équation à la puissance $2$ pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.

${(y^{\frac{1}{2}})}^{2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Étape 3.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.2.1

Simplifiez ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${(y^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 3.5.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.5.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Étape 3.5.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{1} = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Étape 3.5.2.1.2

Simplifiez

$y = {\arctan (\frac{K}{2} + \frac{x}{8})}^{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = {\arctan (K + \frac{x}{8})}^{2}$