Calcul infinitésimal Exemples

$x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} = y - x y$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} = y - x y$ par $x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x^{2} \cdot \frac{d y}{d x} = y - x y$ par $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot \frac{d y}{d x}}{x^{2}} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- x y}{x^{2}}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 1.1.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 1.1.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- x y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x^{2}}$

Étape 1.1.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.1.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Étape 1.1.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{x (- 1 y)}{x \cdot x}$

Étape 1.1.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} + \frac{- 1 y}{x}$

Étape 1.1.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x}$

Étape 1.2

Factorisez.

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Étape 1.2.1

Pour écrire $- \frac{y}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y}{x} \cdot \frac{x}{x}$

Étape 1.2.2

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $x^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 1.2.2.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x \cdot x}$

Étape 1.2.2.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x}$

Étape 1.2.2.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1} x^{1}}$

Étape 1.2.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{1 + 1}}$

Étape 1.2.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x^{2}} - \frac{y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y - y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.4

Factorisez $y$ à partir de $y - y x$ .

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Étape 1.2.4.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y^{1} - y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.2

Factorisez $y$ à partir de $y^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 - y x}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.3

Factorisez $y$ à partir de $- y x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot 1 + y (- x)}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.4

Factorisez $y$ à partir de $y \cdot 1 + y (- x)$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \cdot (1 - x)}{x^{2}}$

Étape 1.2.4.5

Multipliez $y$ par $1 - x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (1 - x)}{x^{2}}$

Étape 1.3

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = y \frac{1 - x}{x^{2}}$

Étape 1.4

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{1 - x}{x^{2}})$

Étape 1.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1 - x}{x^{2}}$

Étape 1.6

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1 - x}{x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.1.1

Retirez $x^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Étape 2.3.1.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{2 \cdot - 1} d x$

Étape 2.3.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int (1 - x) x^{- 2} d x$

Étape 2.3.2

Multipliez $(1 - x) x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 1 x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez $x^{- 2}$ par $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x \cdot x^{- 2} d x$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $x$ par $x^{- 2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 2.3.3.2.1

Déplacez $x^{- 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x) d x$

Étape 2.3.3.2.2

Multipliez $x^{- 2}$ par $x$ .

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Étape 2.3.3.2.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - (x^{- 2} x^{1}) d x$

Étape 2.3.3.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 2 + 1} d x$

Étape 2.3.3.2.3

Additionnez $- 2$ et $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} - x^{- 1} d x$

Étape 2.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x^{- 2} d x + \int - x^{- 1} d x$

Étape 2.3.5

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 2}$ par rapport à $x$ est $- x^{- 1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} + \int - x^{- 1} d x$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - \int x^{- 1} d x$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $x^{- 1}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - x^{- 1} + C_{2} - (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{x} - \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| y |) + \ln (| x |) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| y | | x |) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3.3

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$

Étape 3.4

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y x |)} = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.5

Réécrivez $\ln (| y x |) = - \frac{1}{x} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{x} + C} = | y x |$

Étape 3.6

Résolvez $y$ .

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Étape 3.6.1

Réécrivez l’équation comme $| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$ .

$| y x | = e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.6.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$

Étape 3.6.3

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 3.6.3.1

Divisez chaque terme dans $y x = \pm e^{- \frac{1}{x} + C}$ par $x$ .

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Étape 3.6.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.6.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y x}{x} = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Étape 3.6.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + C}}{x}$

Étape 3.6.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.6.3.3.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.6.3.3.1.1

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y = \frac{\pm e^{- \frac{1}{x} + \frac{C x}{x}}}{x}$

Étape 3.6.3.3.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{- 1 + C x}{x}}}{x}$