Calcul infinitésimal Exemples

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $8 x y^{3} d x$ des deux côtés de l’équation.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Étape 3.2

Associez $12$ et $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2} y^{2}$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x^{2} y^{2}$ à partir de $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Étape 3.5

Associez $- 8$ et $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Étape 3.6

Annulez le facteur commun de $x y^{3}$ .

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Étape 3.6.1

Factorisez $x y^{3}$ à partir de $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Étape 3.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Étape 3.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Comme $12$ est constant par rapport à $y$ , placez $12$ en dehors de l’intégrale.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Étape 4.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Étape 4.2.3

Simplifiez

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Étape 4.3.2

Comme $8$ est constant par rapport à $x$ , placez $8$ en dehors de l’intégrale.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 4.3.3

Multipliez $8$ par $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 4.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Étape 4.3.5

Simplifiez

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.1

Simplifiez $12 \ln (| y |)$ en déplaçant $12$ dans le logarithme.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2.1.1.2

Retirez la valeur absolue dans ${| y |}^{12}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Étape 5.2.1.1.3

Simplifiez $8 \ln (| x |)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Étape 5.2.1.1.4

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{8}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Étape 5.2.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Étape 5.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Étape 5.4

Réécrivez $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Étape 5.5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.5.1

Réécrivez l’équation comme $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Étape 5.5.2

Divisez chaque terme dans $y^{12} x^{8} = e^{C}$ par $x^{8}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.2.1

Divisez chaque terme dans $y^{12} x^{8} = e^{C}$ par $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Étape 5.5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{8}$ .

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Étape 5.5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Étape 5.5.2.2.1.2

Divisez $y^{12}$ par $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Étape 5.5.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Étape 5.5.4

Simplifiez $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

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Étape 5.5.4.1

Réécrivez $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ comme $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.2.1

Réécrivez $x^{8}$ comme ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Étape 5.5.4.2.2

Réécrivez $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ comme $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Étape 5.5.4.2.3

Extrayez les termes de sous le radical, en supposant qu’il s’agit de nombres réels positifs.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 5.5.4.3

Multipliez $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 5.5.4.4

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.5.4.4.1

Multipliez $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 5.5.4.4.2

Élevez $\sqrt[3]{x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 5.5.4.4.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Étape 5.5.4.4.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Étape 5.5.4.4.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ comme $x^{2}$ .

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Étape 5.5.4.4.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Étape 5.5.4.4.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Étape 5.5.4.4.5.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Étape 5.5.4.4.5.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Étape 5.5.4.4.5.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 5.5.4.4.5.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Étape 5.5.4.4.5.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.4.4.5.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Étape 5.5.4.4.5.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Étape 5.5.4.4.5.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Étape 5.5.4.4.5.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.5.4.5.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 5.5.4.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.3

Factorisez $x^{3}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.5

Associez les exposants.

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Étape 5.5.4.5.5.1

Réécrivez l’expression en utilisant le plus petit indice commun de $12$ .

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Étape 5.5.4.5.5.1.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.5.1.2

Réécrivez $x^{\frac{1}{3}}$ comme $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.5.1.3

Réécrivez $x^{\frac{4}{12}}$ comme $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.5.5.2

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.6

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 5.5.4.6.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{2}$ .

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Étape 5.5.4.6.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Étape 5.5.4.6.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.5.4.6.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Étape 5.5.4.6.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Étape 5.5.4.6.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Étape 5.5.4.6.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Étape 5.5.5

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 5.5.5.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Étape 5.5.5.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Étape 5.5.5.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Étape 6

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$