Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 + y^{2})}{(1 + x^{2})}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{1 + y^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}} \cdot \frac{1 + y^{2}}{1 + x^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{1 + y^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + x^{2}}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{1 + y^{2}} d y = \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{1 + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\int \frac{1}{1^{2} + y^{2}} d y = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + y^{2}}$ par rapport à $y$ est $\arctan (y) + C_{1}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1 + x^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \int \frac{1}{1^{2} + x^{2}} d x$

Étape 2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{1^{2} + x^{2}}$ par rapport à $x$ est $\arctan (x) + C_{2}$ .

$\arctan (y) + C_{1} = \arctan (x) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Réécrivez l’équation comme $\arctan (x) + K = \arctan (y)$ .

$\arctan (x) + K = \arctan (y)$

Étape 3.2

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\arctan (x) = \arctan (y) - K$

Étape 3.3

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$x = \tan (\arctan (y) - K)$

Étape 3.4

Réécrivez l’équation comme $\tan (\arctan (y) - K) = x$ .

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Étape 3.5

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Étape 3.6

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Étape 3.7

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$

Étape 3.8

Comme $y$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$\tan (\arctan (y) - K) = x$

Étape 3.9

Prenez la tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $\arctan (y)$ de l’intérieur de la tangente.

$\arctan (y) - K = \arctan (x)$

Étape 3.10

Ajoutez $K$ aux deux côtés de l’équation.

$\arctan (y) = \arctan (x) + K$

Étape 3.11

Prenez l’arc tangente inverse des deux côtés de l’équation pour extraire $y$ de l’intérieur de l’arc tangente.

$y = \tan (\arctan (x) + K)$