Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \cos (2 x)$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - y = x^{2} \cos (2 x)$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \cos (2 x)}{x}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \cos (2 x)}{x}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x^{2} \cos (2 x)}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 1.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2} \cos (2 x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x}$

Étape 1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.3.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x^{1}}$

Étape 1.3.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x (x \cos (2 x))}{x \cdot 1}$

Étape 1.3.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = \frac{x \cos (2 x)}{1}$

Étape 1.3.2.5

Divisez $x \cos (2 x)$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- y}{x} = x \cos (2 x)$

Étape 1.4

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 1}{x} = x \cos (2 x)$

Étape 1.5

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 1}{x} y = x \cos (2 x)$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 1}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 1}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$e^{- \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 1})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 1}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{1}{x} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (\frac{- 1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} + \frac{1}{x} (- \frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} (\frac{1}{x} y) = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{y}{x}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x \cdot x} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.5.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.5.3

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1} x^{1}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.5.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{1 + 1}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.2.5.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.3.1

Factorisez $x$ à partir de $x \cos (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x (\cos (2 x)))$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \frac{1}{x} (x \cos (2 x))$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x} - \frac{y}{x^{2}} = \cos (2 x)$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] = \cos (2 x)$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x} y] d x = \int \cos (2 x) d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x} y = \int \cos (2 x) d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Laissez $u = 2 x$ . Alors $d u = 2 d x$ , donc $\frac{1}{2} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 7.1.1

Laissez $u = 2 x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 7.1.1.1

Différenciez $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Étape 7.1.1.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 7.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Étape 7.1.1.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$2$

Étape 7.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{x} y = \int \cos (u) \frac{1}{2} d u$

Étape 7.2

Associez $\cos (u)$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x} y = \int \frac{\cos (u)}{2} d u$

Étape 7.3

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} \int \cos (u) d u$

Étape 7.4

L’intégrale de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $\sin (u)$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} (\sin (u) + C)$

Étape 7.5

Simplifiez

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} \sin (u) + C$

Étape 7.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 x$ .

$\frac{1}{x} y = \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.1.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$\frac{y}{x} = \frac{1}{2} \sin (2 x) + C$

Étape 8.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sin (2 x)$ .

$\frac{y}{x} = \frac{\sin (2 x)}{2} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x$ .

$\frac{y}{x} x = (\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x} x = (\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(\frac{\sin (2 x)}{2} + C) x$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{\sin (2 x)}{2} x + C x$

Étape 8.4.2.1.2

Associez $\frac{\sin (2 x)}{2}$ et $x$ .

$y = \frac{\sin (2 x) x}{2} + C x$

Étape 8.4.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 8.4.2.1.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sin (2 x) x}{2} + C x$ .

$y = \frac{x \sin (2 x)}{2} + C x$

Étape 8.4.2.1.3.2

Remettez dans l’ordre $\frac{x \sin (2 x)}{2}$ et $C x$ .

$y = C x + \frac{x \sin (2 x)}{2}$