Calcul infinitésimal Exemples

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

Étape 1

Soustrayez $x y d x$ des deux côtés de l’équation.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Annulez le facteur commun de $1 + x$ .

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Étape 3.1.1

Factorisez $1 + x$ à partir de $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Étape 3.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Étape 3.1.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{(1 + x) y}$ dans le numérateur.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

Étape 3.4.3

Factorisez $y$ à partir de $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Étape 3.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Étape 3.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

Étape 3.5

Associez $\frac{- 1}{1 + x}$ et $x$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

Étape 3.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2.3.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2.6

Simplifiez

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.2.7

Remettez les termes dans l’ordre.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Étape 4.3.2

Remettez dans l’ordre $1$ et $x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Étape 4.3.3

Divisez $x$ par $x + 1$ .

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Étape 4.3.3.1

Définissez les polynômes à diviser. S’il n’y a pas de terme pour chaque exposant, insérez-en un avec une valeur de $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Étape 4.3.3.2

Divisez le terme du plus haut degré dans le dividende $x$ par le terme du plus haut degré dans le diviseur $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Étape 4.3.3.3

Multipliez le nouveau terme du quotient par le diviseur.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Étape 4.3.3.4

L’expression doit être soustraite du dividende, alors changez tous les signes dans $x + 1$

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Étape 4.3.3.5

Après avoir changé les signes, ajoutez le dernier dividende du polynôme multiplié pour déterminer le nouveau dividende.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Étape 4.3.3.6

La réponse finale est le quotient plus le reste sur le diviseur.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Étape 4.3.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 4.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 4.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Étape 4.3.7

Laissez $u = x + 1$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.7.1

Laissez $u = x + 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.7.1.1

Différenciez $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 4.3.7.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.7.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 4.3.7.1.4

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 4.3.7.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 4.3.7.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

Étape 4.3.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

Étape 4.3.9

Simplifiez

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

Étape 4.3.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Étape 4.3.11

Simplifiez

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Étape 4.3.11.1

Appliquez la propriété distributive.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Étape 4.3.11.2

Multipliez $- - \ln (| x + 1 |)$ .

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Étape 4.3.11.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Étape 4.3.11.2.2

Multipliez $\ln (| x + 1 |)$ par $1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$