Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Étape 1

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = 1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int d x}$

Étape 1.2

Appliquez la règle de la constante.

$e^{x + C}$

Étape 1.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{x}$

Étape 2

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Multipliez chaque terme par $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Étape 2.2

Associez $e^{x}$ et $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Étape 2.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Étape 3

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Étape 4

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 5

Intégrez le côté gauche.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Alors $d u = e^{x} d x$ , donc $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1

Laissez $u = 1 + e^{x}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.1

Différenciez $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Étape 6.1.1.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + e^{x}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 6.1.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Étape 6.1.1.3

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Étape 6.1.1.4

Additionnez $0$ et $e^{x}$ .

$e^{x}$

Étape 6.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Étape 6.2

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Étape 6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Étape 7

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ par $e^{x}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Divisez chaque terme dans $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ par $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Étape 7.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$