Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{3 y + 4}$ .

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $3 y + 4$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{3 y + 4} \cdot \frac{3 y + 4}{7 x + 5}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{3 y + 4} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{7 x + 5}$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{3 y + 4} d y = \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{3 y + 4} d y = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Laissez $u_{1} = 3 y + 4$ . Alors $d u_{1} = 3 d y$ , donc $\frac{1}{3} d u_{1} = d y$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.2.1.1

Laissez $u_{1} = 3 y + 4$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

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Étape 2.2.1.1.1

Différenciez $3 y + 4$ .

$\frac{d}{d y} [3 y + 4]$

Étape 2.2.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 y + 4$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [4]$ .

$\frac{d}{d y} [3 y] + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 2.2.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [3 y]$ .

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Étape 2.2.1.1.3.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $3 y$ par rapport à $y$ est $3 \frac{d}{d y} [y]$ .

$3 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 2.2.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 2.2.1.1.3.3

Multipliez $3$ par $1$ .

$3 + \frac{d}{d y} [4]$

Étape 2.2.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.2.1.1.4.1

Comme $4$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $4$ par rapport à $y$ est $0$ .

$3 + 0$

Étape 2.2.1.1.4.2

Additionnez $3$ et $0$ .

$3$

Étape 2.2.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$\int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{3} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.2.2

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{1}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{1}{u_{1} \cdot 3} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.2.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $u_{1}$ .

$\int \frac{1}{3 u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.2.3

Comme $\frac{1}{3}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{3}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.2.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{1}{3} (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.2.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.2.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $3 y + 4$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 x + 5} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Laissez $u_{2} = 7 x + 5$ . Alors $d u_{2} = 7 d x$ , donc $\frac{1}{7} d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.1.1

Laissez $u_{2} = 7 x + 5$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.1.1.1

Différenciez $7 x + 5$ .

$\frac{d}{d x} [7 x + 5]$

Étape 2.3.1.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $7 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [7 x]$ .

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Étape 2.3.1.1.3.1

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 x$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$7 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.3.3

Multipliez $7$ par $1$ .

$7 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 2.3.1.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.1.1.4.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$7 + 0$

Étape 2.3.1.1.4.2

Additionnez $7$ et $0$ .

$7$

Étape 2.3.1.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2}} \cdot \frac{1}{7} d u_{2}$

Étape 2.3.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.1

Multipliez $\frac{1}{u_{2}}$ par $\frac{1}{7}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{u_{2} \cdot 7} d u_{2}$

Étape 2.3.2.2

Déplacez $7$ à gauche de $u_{2}$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \int \frac{1}{7 u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.3

Comme $\frac{1}{7}$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $\frac{1}{7}$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $\frac{1}{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Étape 2.3.5

Simplifiez

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Étape 2.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $7 x + 5$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) + C_{1} = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |) = \frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $3$ .

$3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |)) = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{3} \ln (| 3 y + 4 |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{3}$ et $\ln (| 3 y + 4 |)$ .

$3 \frac{\ln (| 3 y + 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$3 \frac{\ln (| 3 y + 4 |)}{3} = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $3 (\frac{1}{7} \ln (| 7 x + 5 |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Associez $\frac{1}{7}$ et $\ln (| 7 x + 5 |)$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + C)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $C$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + C \cdot \frac{7}{7})$

Étape 3.2.2.1.3

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.3.1

Associez $C$ et $\frac{7}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 (\frac{\ln (| 7 x + 5 |)}{7} + \frac{C \cdot 7}{7})$

Étape 3.2.2.1.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 \frac{\ln (| 7 x + 5 |) + C \cdot 7}{7}$

Étape 3.2.2.1.4

Déplacez $7$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = 3 \frac{\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C}{7}$

Étape 3.2.2.1.5

Associez $3$ et $\frac{\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C}{7}$ .

$\ln (| 3 y + 4 |) = \frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}$

Étape 3.3

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| 3 y + 4 |)} = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Étape 3.4

Réécrivez $\ln (| 3 y + 4 |) = \frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} = | 3 y + 4 |$

Étape 3.5

Résolvez $y$ .

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Étape 3.5.1

Réécrivez l’équation comme $| 3 y + 4 | = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$ .

$| 3 y + 4 | = e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Étape 3.5.2

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$3 y + 4 = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}$

Étape 3.5.3

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$

Étape 3.5.4

Divisez chaque terme dans $3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$ par $3$ et simplifiez.

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Étape 3.5.4.1

Divisez chaque terme dans $3 y = \pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4$ par $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Étape 3.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Étape 3.5.4.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} + \frac{- 4}{3}$

Étape 3.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}}}{3} - \frac{4}{3}$

Étape 3.5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + 7 C)}{7}} - 4}{3}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \frac{\pm e^{\frac{3 (\ln (| 7 x + 5 |) + C)}{7}} - 4}{3}$