Calcul infinitésimal Exemples

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ par $t$ .

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 1.2.2

Divisez $\frac{d x}{d t}$ par $1$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 1.3

Factorisez $x$ à partir de $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 1.4

Remettez dans l’ordre $x$ et $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (t) d t}$ , où $P (t) = \frac{2}{t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{2}{t}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Étape 2.2.2

L’intégrale de $\frac{1}{t}$ par rapport à $t$ est $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Étape 2.2.3

Simplifiez

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{2 \ln (t)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (t^{2})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$t^{2}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Associez $\frac{2}{t}$ et $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.2.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.3

Annulez le facteur commun de $t$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Factorisez $t$ à partir de $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.3.2

Annulez le facteur commun.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Étape 3.3.3

Réécrivez l’expression.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

Étape 3.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 7.1

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

Étape 7.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = t$ et $d v = e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Étape 7.3

L’intégrale de $e^{t}$ par rapport à $t$ est $e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Étape 7.4

Simplifiez

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ par $t^{2}$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ par $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $t^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $x$ par $1$ .

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

Étape 8.3.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 8.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

Étape 8.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$