Calcul infinitésimal Exemples

$x y d x + (2 x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 1

Déterminez $\frac{\partial M}{\partial y}$ où $M (x, y) = x y$ .

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Étape 1.1

Différenciez $M$ par rapport à $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x y]$

Étape 1.2

Comme $x$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $x y$ par rapport à $y$ est $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y]$

Étape 1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \cdot 1$

Étape 1.4

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x$

Étape 2

Déterminez $\frac{\partial N}{\partial x}$ où $N (x, y) = 2 x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 2.1

Différenciez $N$ par rapport à $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2} + y^{2}]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 (2 x) + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.3.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.4.1

Comme $y^{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $y^{2}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x + 0$

Étape 2.4.2

Additionnez $4 x$ et $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 4 x$

Étape 3

Vérifiez que $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

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Étape 3.1

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ et $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x$ .

$x = 4 x$

Étape 3.2

Comme le côté gauche n’est pas égal au côté droit, l’équation n’est pas une identité.

$x = 4 x$ n’est pas une identité.

Étape 4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

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Étape 4.1

Remplacez $\frac{\partial N}{\partial x}$ par $4 x$ .

$\frac{4 x - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Étape 4.2

Remplacez $\frac{\partial M}{\partial y}$ par $x$ .

$\frac{4 x - x}{M}$

Étape 4.3

Remplacez $M$ par $x y$ .

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Étape 4.3.1

Remplacez $M$ par $x y$ .

$\frac{4 x - x}{x y}$

Étape 4.3.2

Soustrayez $x$ de $4 x$ .

$\frac{3 x}{x y}$

Étape 4.3.3

Remplacez $M$ par $x y$ .

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Étape 4.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 x}{x y}$

Étape 4.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{y}$

Étape 4.4

Déterminez le facteur d’intégration $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{3}{y} d y}$

Étape 5

Évaluez l’intégrale $e^{\int \frac{3}{y} d y}$ .

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Étape 5.1

Comme $3$ est constant par rapport à $y$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$μ (x, y) = e^{3 \int \frac{1}{y} d y}$

Étape 5.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{3 (\ln (| y |) + C)}$

Étape 5.3

Simplifiez

$μ (x, y) = e^{3 \ln (| y |)} + C$

Étape 5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.1

Simplifiez $3 \ln (| y |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{3})} + C$

Étape 5.4.2

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$μ (x, y) = {| y |}^{3} + C$

Étape 6

Multipliez les deux côtés de $x y d x + (2 x^{2} + y^{2}) d y = 0$ par le facteur d’intégration $y^{3}$ .

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Étape 6.1

Multipliez $x y$ par $y^{3}$ .

$x y \cdot y^{3} d x + (2 x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2

Multipliez $y$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.2.1

Déplacez $y^{3}$ .

$x (y^{3} y) d x + (2 x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.2

Multipliez $y^{3}$ par $y$ .

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Étape 6.2.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$x (y^{3} y^{1}) d x + (2 x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x y^{3 + 1} d x + (2 x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.2.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + y^{2}) d y = 0$

Étape 6.3

Multipliez $2 x^{2} + y^{2}$ par $y^{3}$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} + y^{2}) y^{3} d y = 0$

Étape 6.4

Appliquez la propriété distributive.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + y^{2} y^{3}) d y = 0$

Étape 6.5

Multipliez $y^{2}$ par $y^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.5.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + y^{2 + 3}) d y = 0$

Étape 6.5.2

Additionnez $2$ et $3$ .

$x y^{4} d x + (2 x^{2} y^{3} + y^{5}) d y = 0$

Étape 7

Définissez $f (x, y)$ égal à l’intégrale de $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x y^{4} d x$

Étape 8

Intégrez $M (x, y) = x y^{4}$ pour déterminer $f (x, y)$ .

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Étape 8.1

Comme $y^{4}$ est constant par rapport à $x$ , placez $y^{4}$ en dehors de l’intégrale.

$f (x, y) = y^{4} \int x d x$

Étape 8.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Étape 8.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 8.3.1

Réécrivez $y^{4} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$ comme $y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$ .

$f (x, y) = y^{4} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2

Simplifiez

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Étape 8.3.2.1

Associez $y^{4}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + C$

Étape 8.3.2.2

Associez $\frac{y^{4}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + C$

Étape 8.3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + C$

Étape 9

Comme l’intégrale de $g (y)$ contient une constante d’intégration, nous pouvons remplacer $C$ par $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$

Étape 10

Définissez $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11

Déterminez $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

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Étape 11.1

Différenciez $f$ par rapport à $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3

Évaluez $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{4} x^{2}]$ .

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Étape 11.3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{4}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.2

Associez $\frac{y^{4}}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{y^{4} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.3

Comme $\frac{x^{2}}{2}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{y^{4} x^{2}}{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}]$ .

$\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{4}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ est $n y^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{x^{2}}{2} (4 y^{3}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.5

Associez $4$ et $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{4 x^{2}}{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.6

Associez $\frac{4 x^{2}}{2}$ et $y^{3}$ .

$\frac{4 x^{2} y^{3}}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.7

Annulez le facteur commun à $4$ et $2$ .

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Étape 11.3.7.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{2} y^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.7.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 11.3.7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.7.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{2} y^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.7.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{2} y^{3}}{1} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.3.7.2.4

Divisez $2 x^{2} y^{3}$ par $1$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.4

Différenciez à l’aide de la règle de fonction qui indique que la dérivée de $g (y)$ est $\frac{d g}{d y}$ .

$2 x^{2} y^{3} + \frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 11.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{d g}{d y} + 2 y^{3} x^{2} = 2 x^{2} y^{3} + y^{5}$

Étape 12

Résolvez $\frac{d g}{d y}$ .

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Étape 12.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\frac{d g}{d y}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 12.1.1

Soustrayez $2 y^{3} x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d g}{d y} = 2 x^{2} y^{3} + y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Étape 12.1.2

Associez les termes opposés dans $2 x^{2} y^{3} + y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$ .

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Étape 12.1.2.1

Réorganisez les facteurs dans les termes $2 x^{2} y^{3}$ et $- 2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} x^{2} + y^{5} - 2 y^{3} x^{2}$

Étape 12.1.2.2

Soustrayez $2 y^{3} x^{2}$ de $2 y^{3} x^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5} + 0$

Étape 12.1.2.3

Additionnez $y^{5}$ et $0$ .

$\frac{d g}{d y} = y^{5}$

Étape 13

Déterminez la primitive de $y^{5}$ afin de déterminer $g (y)$ .

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Étape 13.1

Intégrez les deux côtés de $\frac{d g}{d y} = y^{5}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int y^{5} d y$

Étape 13.2

Évaluez $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int y^{5} d y$

Étape 13.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{5}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{6} y^{6}$ .

$g (y) = \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 14

Remplacez par $g (y)$ dans $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{4} x^{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 15

Simplifiez chaque terme.

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Étape 15.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4}}{2} x^{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 15.2

Associez $\frac{y^{4}}{2}$ et $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{1}{6} y^{6} + C$

Étape 15.3

Associez $\frac{1}{6}$ et $y^{6}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{4} x^{2}}{2} + \frac{y^{6}}{6} + C$