Calcul infinitésimal Exemples

$e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x} = 1$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Résolvez $\frac{d f}{d x}$ .

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Étape 1.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{2 x} \frac{d f}{d x} + e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} + e^{x} = 1$

Étape 1.1.2

Soustrayez $e^{x}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$

Étape 1.1.3

Divisez chaque terme dans $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ par $e^{2 x}$ et simplifiez.

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Étape 1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $\frac{d f}{d x} e^{2 x} = 1 - e^{x}$ par $e^{2 x}$ .

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{2 x}$ .

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Étape 1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d f}{d x} e^{2 x}}{e^{2 x}} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d f}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{x}}{e^{2 x}}$

Étape 1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.3.1

Annulez le facteur commun à $e^{x}$ et $e^{2 x}$ .

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Étape 1.1.3.3.1.1

Factorisez $e^{2 x}$ à partir de $- e^{x}$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x}}$

Étape 1.1.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.1.3.3.1.2.1

Multipliez par $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{e^{2 x} (- e^{- x})}{e^{2 x} \cdot 1}$

Étape 1.1.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} + \frac{- e^{- x}}{1}$

Étape 1.1.3.3.1.2.4

Divisez $- e^{- x}$ par $1$ .

$\frac{d f}{d x} = \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}$

Étape 1.2

Réécrivez l’équation.

$d f = (\frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d f = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} - e^{- x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$f + C_{1} = \int \frac{1}{e^{2 x}} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.3.2.1

Inversez l’exposant de $e^{2 x}$ et placez-le hors du dénominateur.

$f + C_{1} = \int 1 {(e^{2 x})}^{- 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.2.2

Simplifiez

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Étape 2.3.2.2.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{2 x})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.2.2.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{2 x \cdot - 1} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.2.2.1.2

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$f + C_{1} = \int 1 e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.2.2.2

Multipliez $e^{- 2 x}$ par $1$ .

$f + C_{1} = \int e^{- 2 x} d x + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u_{1} = - 2 x$ . Alors $d u_{1} = - 2 d x$ , donc $- \frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Réécrivez avec $u_{1}$ et $d$ $u_{1}$ .

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Étape 2.3.3.1

Laissez $u_{1} = - 2 x$ . Déterminez $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $- 2 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x]$

Étape 2.3.3.1.2

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2 x$ par rapport à $x$ est $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 \cdot 1$

Étape 2.3.3.1.4

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{1}$ et $d u_{1}$ .

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} \frac{1}{- 2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$f + C_{1} = \int e^{u_{1}} (- \frac{1}{2}) d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.4.2

Associez $e^{u_{1}}$ et $\frac{1}{2}$ .

$f + C_{1} = \int - \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = - \int \frac{e^{u_{1}}}{2} d u_{1} + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.6

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $u_{1}$ , placez $\frac{1}{2}$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $e^{u_{1}}$ par rapport à $u_{1}$ est $e^{u_{1}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int - e^{- x} d x$

Étape 2.3.8

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int e^{- x} d x$

Étape 2.3.9

Laissez $u_{2} = - x$ . Alors $d u_{2} = - d x$ , donc $- d u_{2} = d x$ . Réécrivez avec $u_{2}$ et $d$ $u_{2}$ .

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Étape 2.3.9.1

Laissez $u_{2} = - x$ . Déterminez $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Étape 2.3.9.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.9.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.9.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.9.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.9.2

Réécrivez le problème en utilisant $u_{2}$ et $d u_{2}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - \int - e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.10

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u_{2}$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) - - \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.11

Simplifiez

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Étape 2.3.11.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + 1 \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.11.2

Multipliez $\int e^{u_{2}} d u_{2}$ par $1$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Étape 2.3.12

L’intégrale de $e^{u_{2}}$ par rapport à $u_{2}$ est $e^{u_{2}}$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} (e^{u_{1}} + C_{2}) + e^{u_{2}} + C_{3}$

Étape 2.3.13

Simplifiez

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{u_{1}} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.14

Remplacez à nouveau pour chaque variable de substitution de l’intégration.

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Étape 2.3.14.1

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $- 2 x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{u_{2}} + C_{4}$

Étape 2.3.14.2

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $- x$ .

$f + C_{1} = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$f = - \frac{1}{2} e^{- 2 x} + e^{- x} + K$