Calcul infinitésimal Exemples

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , placez $4$ en dehors de l’intégrale.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Étape 2.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.4

Simplifiez

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Étape 2.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.4.2

Multipliez $\int e^{- x} d x$ par $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Étape 2.3.5

Laissez $u = - x$ . Alors $d u = - d x$ , donc $- d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.5.1

Laissez $u = - x$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.5.1.1

Différenciez $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.5.1.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.5.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Étape 2.3.5.1.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$- 1$

Étape 2.3.5.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Étape 2.3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Étape 2.3.8

Réécrivez $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ comme $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.9

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Étape 3

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ par $2$ et simplifiez.

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Étape 3.1

Divisez chaque terme dans $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ par $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Étape 3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.2.3

Multipliez $- 1$ par $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Étape 3.3.3

Simplifiez en factorisant.

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Étape 3.3.3.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Étape 3.3.3.4

Factorisez $- 1$ à partir de $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Étape 3.3.3.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Étape 3.3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.3.6.1

Réécrivez $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ comme $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Étape 3.3.3.6.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Étape 5

Utilisez la condition initiale pour déterminer la valeur de $K$ en remplaçant $x$ par $0$ et $y$ par $5$ dans $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Étape 6.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 6.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.1.1

Simplifiez $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

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Étape 6.3.1.1.1

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 6.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.3.1.1.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ dans le numérateur.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.1.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.1.4

Réécrivez l’expression.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.3.1.1.1.2.1

Multipliez $- 1$ par $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.2.2

Multipliez par zéro.

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Étape 6.3.1.1.1.2.2.1

Multipliez $0$ par $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.2.2.2

Multipliez $4$ par $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.2.3

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.2.4

Multipliez $0 + 4 e^{0} + K$ par $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.1.2.5

Additionnez $0$ et $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.3.1.1.2.1

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.1.1.2.2

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Étape 6.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.2.1

Multipliez $- 2$ par $5$ .

$4 + K = - 10$

Étape 6.4

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.4.1

Soustrayez $4$ des deux côtés de l’équation.

$K = - 10 - 4$

Étape 6.4.2

Soustrayez $4$ de $- 10$ .

$K = - 14$

Étape 7

Remplacez $K$ par $- 14$ dans $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $- 14$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Étape 7.2

Annulez le facteur commun à $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ et $2$ .

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Étape 7.2.1

Factorisez $2$ à partir de $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Étape 7.2.2

Factorisez $2$ à partir de $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Étape 7.2.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Étape 7.2.4

Factorisez $2$ à partir de $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Étape 7.2.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Étape 7.2.6

Annulez les facteurs communs.

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Étape 7.2.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Étape 7.2.6.2

Annulez le facteur commun.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Étape 7.2.6.3

Réécrivez l’expression.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Étape 7.2.6.4

Divisez $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ par $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Étape 7.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Étape 7.4

Simplifiez

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Étape 7.4.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Étape 7.4.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Étape 7.4.3

Multipliez $- 1$ par $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$