Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d s}{d t} = 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d s = 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d s = \int 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$s + C_{1} = \int 13 t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $13$ est constant par rapport à $t$ , placez $13$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 13 \int t {(5 t^{2} - 1)}^{3} d t$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 5 t^{2} - 1$ . Alors $d u = 10 t d t$ , donc $\frac{1}{10} d u = t d t$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 5 t^{2} - 1$ . Déterminez $\frac{d u}{d t}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $5 t^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2} - 1]$

Étape 2.3.2.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 t^{2} - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$\frac{d}{d t} [5 t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d t} [5 t^{2}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $5 t^{2}$ par rapport à $t$ est $5 \frac{d}{d t} [t^{2}]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (2 t) + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $2$ par $5$ .

$10 t + \frac{d}{d t} [- 1]$

Étape 2.3.2.1.4

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 2.3.2.1.4.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$10 t + 0$

Étape 2.3.2.1.4.2

Additionnez $10 t$ et $0$ .

$10 t$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$s + C_{1} = 13 \int u^{3} \frac{1}{10} d u$

Étape 2.3.3

Associez $u^{3}$ et $\frac{1}{10}$ .

$s + C_{1} = 13 \int \frac{u^{3}}{10} d u$

Étape 2.3.4

Comme $\frac{1}{10}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{10}$ en dehors de l’intégrale.

$s + C_{1} = 13 (\frac{1}{10} \int u^{3} d u)$

Étape 2.3.5

Associez $\frac{1}{10}$ et $13$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} \int u^{3} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{3}$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{4} u^{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $\frac{13}{10} (\frac{1}{4} u^{4} + C_{2})$ comme $\frac{13}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10} \cdot \frac{1}{4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Multipliez $\frac{13}{10}$ par $\frac{1}{4}$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{10 \cdot 4} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Multipliez $10$ par $4$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{40} u^{4} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 t^{2} - 1$ .

$s + C_{1} = \frac{13}{40} {(5 t^{2} - 1)}^{4} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$s = \frac{13}{40} {(5 t^{2} - 1)}^{4} + K$