Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $1 + y^{2}$ .

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $1 + y^{2}$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(1 + y^{2}) d y = 1 d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int 1 + y^{2} d y = \int d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int d y + \int y^{2} d y = \int d x$

Étape 2.2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} + \int y^{2} d y = \int d x$

Étape 2.2.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{2}$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{3} y^{3} + C_{2} = \int d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$y + \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int d x$

Étape 2.2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int d x$

Étape 2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = x + K$