Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Multipliez les deux côtés par $y - 5$ .

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Étape 1.2

Annulez le facteur commun de $y - 5$ .

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Étape 1.2.1

Annulez le facteur commun.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Étape 1.2.2

Réécrivez l’expression.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

Étape 1.3

Réécrivez l’équation.

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Étape 2.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Étape 2.2.3

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

Étape 2.2.4

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

Étape 2.3.4

Appliquez la règle de la constante.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Étape 2.3.5

Simplifiez

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Étape 2.3.5.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Étape 2.3.5.2

Simplifiez

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

Étape 2.3.5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Étape 3.2

Associez $\frac{5}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

Étape 3.3

Déplacez toutes les expressions du côté gauche de l’équation.

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Étape 3.3.1

Soustrayez $\frac{5 x^{2}}{2}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

Étape 3.3.2

Soustrayez $3 x$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

Étape 3.3.3

Soustrayez $K$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

Étape 3.4

Multipliez par le plus petit dénominateur commun $2$ , puis simplifiez.

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Étape 3.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2

Simplifiez

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Étape 3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.2

Multipliez $- 5$ par $2$ .

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{5 x^{2}}{2}$ dans le numérateur.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.2

Annulez le facteur commun.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.3.3

Réécrivez l’expression.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.4

Multipliez $- 3$ par $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

Étape 3.4.2.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

Étape 3.4.3

Déplacez $- 10 y$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

Étape 3.4.4

Déplacez $- 6 x$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Étape 3.4.5

Remettez dans l’ordre $y^{2}$ et $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Étape 3.5

Utilisez la formule quadratique pour déterminer les solutions.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Étape 3.6

Remplacez les valeurs $a = 1$ , $b = - 10$ et $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ dans la formule quadratique et résolvez pour $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.7.1.1

Élevez $- 10$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.2

Multipliez $- 4$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4

Simplifiez

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Étape 3.7.1.4.1

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4.2

Multipliez $- 2$ par $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.4.3

Multipliez $- 6$ par $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5

Factorisez $4$ à partir de $100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ .

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Étape 3.7.1.5.1

Factorisez $4$ à partir de $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5.2

Factorisez $4$ à partir de $20 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5.3

Factorisez $4$ à partir de $8 K$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5.4

Factorisez $4$ à partir de $24 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5.5

Factorisez $4$ à partir de $4 (25) + 4 (5 x^{2})$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5.6

Factorisez $4$ à partir de $4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.5.7

Factorisez $4$ à partir de $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6

Réécrivez $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ comme $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ .

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Étape 3.7.1.6.1

Réécrivez $4$ comme $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.6.2

Réécrivez $25$ comme $5^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.7

Extrayez les termes de sous le radical.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.1.8

Élevez $5$ à la puissance $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Étape 3.7.2

Multipliez $2$ par $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

Étape 3.7.3

Simplifiez $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Étape 3.8

La réponse finale est la combinaison des deux solutions.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

Étape 5

Comme $y$ est positif dans la condition initiale $(0, 8)$ , ne tenez compte que de $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ pour déterminer le $K$ . Remplacez $x$ par $0$ et $y$ par $8$ .

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

Étape 6

Résolvez $K$ .

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Étape 6.1

Réécrivez l’équation comme $5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ .

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

Étape 6.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.2.1

Soustrayez $5$ des deux côtés de l’équation.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

Étape 6.2.2

Soustrayez $5$ de $8$ .

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

Étape 6.3

Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au carré les deux côtés de l’équation.

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

Étape 6.4

Simplifiez chaque côté de l’équation.

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Étape 6.4.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ comme ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Simplifiez ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Multipliez les exposants dans ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Étape 6.4.2.1.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.4.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.4.2.1.2.1

L’élévation de $0$ à toute puissance positive produit $0$ .

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.2.2

Multipliez $5$ par $0$ .

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.2.3

Multipliez $6$ par $0$ .

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.3

Simplifiez en ajoutant des termes.

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Étape 6.4.2.1.3.1

Associez les termes opposés dans $25 + 0 + K + 0$ .

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Étape 6.4.2.1.3.1.1

Additionnez $25$ et $0$ .

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.3.1.2

Additionnez $25 + K$ et $0$ .

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

Étape 6.4.2.1.3.2

Simplifiez

$25 + K = 3^{2}$

Étape 6.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.4.3.1

Élevez $3$ à la puissance $2$ .

$25 + K = 9$

Étape 6.5

Déplacez tous les termes ne contenant pas $K$ du côté droit de l’équation.

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Étape 6.5.1

Soustrayez $25$ des deux côtés de l’équation.

$K = 9 - 25$

Étape 6.5.2

Soustrayez $25$ de $9$ .

$K = - 16$

Étape 7

Remplacez $K$ par $- 16$ dans $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ et simplifiez.

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Étape 7.1

Remplacez $K$ par $- 16$ .

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

Étape 7.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 7.2.1

Soustrayez $16$ de $25$ .

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

Étape 7.2.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$