Calcul infinitésimal Exemples

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

Étape 1

Soustrayez $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ des deux côtés de l’équation.

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 2

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3

Simplifiez

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Étape 3.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.2

Multipliez $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

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Étape 3.2.1

Multipliez $\frac{1}{y}$ par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.2.2

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.2.3

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.2.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.2.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 3.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Étape 3.4.2

Factorisez $y$ à partir de $y e^{\cos (x)} \sin (x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Étape 3.4.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Étape 3.4.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4

Intégrez les deux côtés.

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Étape 4.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 4.2.1

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 4.2.1.1

Retirez $y^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4.2.1.2

Multipliez les exposants dans ${(y^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 4.2.1.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4.2.1.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4.2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y^{- 2}$ par rapport à $y$ est $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4.2.3

Réécrivez $- y^{- 1} + C_{1}$ comme $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 4.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Étape 4.3.2

Laissez $u = \cos (x)$ . Alors $d u = - \sin (x) d x$ , donc $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 4.3.2.1

Laissez $u = \cos (x)$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 4.3.2.1.1

Différenciez $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Étape 4.3.2.1.2

La dérivée de $\cos (x)$ par rapport à $x$ est $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Étape 4.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Étape 4.3.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Étape 4.3.4

Simplifiez

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Étape 4.3.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Étape 4.3.4.2

Multipliez $\int e^{u} d u$ par $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

Étape 4.3.5

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Étape 4.3.6

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

Étape 4.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

Étape 5

Résolvez $y$ .

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Étape 5.1

Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.

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Étape 5.1.1

Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.

$y, 1, 1$

Étape 5.1.2

Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.

$y$

Étape 5.2

Multiplier chaque terme dans $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ par $y$ afin d’éliminer les fractions.

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Étape 5.2.1

Multipliez chaque terme dans $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ par $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{y}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Étape 5.2.2.1.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Étape 5.2.2.1.3

Réécrivez l’expression.

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{\cos (x)} y + K y$ .

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

Étape 5.3

Résolvez l’équation.

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Étape 5.3.1

Réécrivez l’équation comme $y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ .

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

Étape 5.3.2

Factorisez $y$ à partir de $y e^{\cos (x)} + K y$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $K y$ .

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $y e^{\cos (x)} + y K$ .

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ par $e^{\cos (x)} + K$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ par $e^{\cos (x)} + K$ .

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $e^{\cos (x)} + K$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$