Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \sqrt{x} - \frac{2}{x}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$d y = (\sqrt{x} - \frac{2}{x}) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int d y = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Étape 2.2

Appliquez la règle de la constante.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} - \frac{2}{x} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$y + C_{1} = \int \sqrt{x} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 2.3.2

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x}$ comme $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = \int x^{\frac{1}{2}} d x + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 2.3.3

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} + \int - \frac{2}{x} d x$

Étape 2.3.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - \int \frac{2}{x} d x$

Étape 2.3.5

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - (2 \int \frac{1}{x} d x)$

Étape 2.3.6

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3.7

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C_{2} - 2 (\ln (| x |) + C_{3})$

Étape 2.3.8

Simplifiez

$y + C_{1} = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$y = \frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 2 \ln (| x |) + C$