Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

Étape 1

Séparez les variables.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

Étape 1.2

Factorisez $y$ à partir de $y x e^{x + 2} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.2.1

Factorisez $y$ à partir de $y x e^{x + 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

Étape 1.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

Étape 1.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.2

Intégrez par parties en utilisant la formule $\int u d v = u v - \int v d u$ , où $u = x$ et $d v = e^{x + 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Étape 2.3.3

Laissez $u = x + 2$ . Puis $d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1

Laissez $u = x + 2$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.3.3.1.1

Différenciez $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Étape 2.3.3.1.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.3.1.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Étape 2.3.3.1.4

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + 0$

Étape 2.3.3.1.5

Additionnez $1$ et $0$ .

$1$

Étape 2.3.3.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

Étape 2.3.4

L’intégrale de $e^{u}$ par rapport à $u$ est $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Étape 2.3.5

Appliquez la règle de la constante.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

Étape 2.3.6

Simplifiez

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

Étape 2.3.7

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

Étape 2.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

Étape 3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Pour résoudre $y$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Étape 3.2

Réécrivez $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

Étape 3.3

Résolvez $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Réécrivez l’équation comme $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Étape 3.3.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Étape 3.3.3

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Étape 4

Regroupez les termes constants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Réécrivez $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ comme $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ et $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

Étape 4.3

Combinez des constantes avec le plus ou le moins.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$