Calcul infinitésimal Exemples

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Étape 2.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $y$ par rapport à $y$ est $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Étape 2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 2.3.1

Comme $a$ est constant par rapport à $x$ , placez $a$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Étape 2.3.2

Laissez $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Alors $d u = \frac{1}{b} d x$ , donc $b d u = d x$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.3.2.1

Laissez $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Déterminez $\frac{d u}{d x}$ .

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Étape 2.3.2.1.1

Différenciez $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Étape 2.3.2.1.2

Différenciez.

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Étape 2.3.2.1.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \frac{x}{b}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Étape 2.3.2.1.2.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Étape 2.3.2.1.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

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Étape 2.3.2.1.3.1

Comme $\frac{1}{b}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{b}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.3.2.1.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Étape 2.3.2.1.3.3

Multipliez $\frac{1}{b}$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Étape 2.3.2.1.4

Additionnez $0$ et $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Étape 2.3.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Étape 2.3.3

Simplifiez

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Étape 2.3.3.1

Multipliez par la réciproque de la fraction pour diviser par $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Étape 2.3.3.2

Multipliez $b$ par $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Étape 2.3.3.3

Associez $\frac{1}{u^{2}}$ et $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Étape 2.3.4

Comme $b$ est constant par rapport à $u$ , placez $b$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Étape 2.3.5

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 2.3.5.1

Retirez $u^{2}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Étape 2.3.5.2

Multipliez les exposants dans ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Étape 2.3.5.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Étape 2.3.5.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Étape 2.3.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $u^{- 2}$ par rapport à $u$ est $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Étape 2.3.7

Simplifiez

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Étape 2.3.7.1

Réécrivez $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ comme $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2

Simplifiez

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Étape 2.3.7.2.1

Associez $a$ et $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Étape 2.3.7.2.2

Associez $b$ et $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Étape 2.3.8

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Étape 3

Résolvez $y$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.2.1.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.2.2.1.1.1.1

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.1.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Étape 3.2.2.1.1.2

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3

Multipliez $b a \frac{b}{b + x}$ .

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Étape 3.2.2.1.1.3.1

Associez $b$ et $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3.2

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3.3

Élevez $b$ à la puissance $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Étape 3.2.2.1.1.3.6

Associez $a$ et $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Étape 3.2.2.1.2

Pour écrire $K$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Étape 3.2.2.1.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.4

Appliquez la propriété distributive.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.5.1

Associez $2$ et $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5.2

Factorisez $- 1$ à partir de $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5.3

Factorisez $- 1$ à partir de $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5.4

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5.5

Factorisez $- 1$ à partir de $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5.7

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.2.1.5.7.1

Réécrivez $- (a b^{2} - K b - K x)$ comme $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Étape 3.2.2.1.5.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Étape 3.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Étape 3.4

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

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Étape 3.4.1

Commencez par utiliser la valeur positive du $\pm$ pour déterminer la première solution.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Étape 3.4.2

Ensuite, utilisez la valeur négative du $\pm$ pour déterminer la deuxième solution.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Étape 3.4.3

La solution complète est le résultat des parties positive et négative de la solution.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$