Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d v}{d x}}{x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d v}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{\frac{1 - 4 v^{2}}{3 v}}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d v}{d x} = \frac{1 - 4 v^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 1.1.3.2.1

Réécrivez $1$ comme $1^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{1^{2} - 4 v^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.2.2

Réécrivez $4 v^{2}$ comme ${(2 v)}^{2}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{1^{2} - {(2 v)}^{2}}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.2.3

Les deux termes étant des carrés parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des carrés, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ où $a = 1$ et $b = 2 v$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - (2 v))}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.3

Multipliez $\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d v}{d x} = \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}$ .

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} (\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $3 v$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $3 v$ à partir de $3 v x$ .

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v (x)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{3 v x}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{x}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \cdot \frac{(1 + 2 v) (1 - 2 v)}{x}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{3 v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $v$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$3 \int \frac{v}{(1 + 2 v) (1 - 2 v)} d v = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Laissez $u = (1 + 2 v) (1 - 2 v)$ . Alors $d u = - 8 v d v$ , donc $- \frac{1}{8} d u = v d v$ . Réécrivez avec $u$ et $d$ $u$ .

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Étape 2.2.2.1

Laissez $u = (1 + 2 v) (1 - 2 v)$ . Déterminez $\frac{d u}{d v}$ .

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Étape 2.2.2.1.1

Différenciez $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ .

$\frac{d}{d v} [(1 + 2 v) (1 - 2 v)]$

Étape 2.2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (v) g (v)]$ est $f (v) \frac{d}{d v} [g (v)] + g (v) \frac{d}{d v} [f (v)]$ où $f (v) = 1 + 2 v$ et $g (v) = 1 - 2 v$ .

$(1 + 2 v) \frac{d}{d v} [1 - 2 v] + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3

Différenciez.

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Étape 2.2.2.1.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 - 2 v$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$(1 + 2 v) (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [- 2 v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.2

Comme $1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$(1 + 2 v) (0 + \frac{d}{d v} [- 2 v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.3

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [- 2 v]$ .

$(1 + 2 v) \frac{d}{d v} [- 2 v] + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $- 2 v$ par rapport à $v$ est $- 2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$(1 + 2 v) (- 2 \frac{d}{d v} [v]) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(1 + 2 v) (- 2 \cdot 1) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 2.2.2.1.3.6.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$(1 + 2 v) \cdot - 2 + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.6.2

Déplacez $- 2$ à gauche de $1 + 2 v$ .

$- 2 \cdot (1 + 2 v) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [1 + 2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + 2 v$ par rapport à $v$ est $\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [2 v]$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (\frac{d}{d v} [1] + \frac{d}{d v} [2 v])$

Étape 2.2.2.1.3.8

Comme $1$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $1$ par rapport à $v$ est $0$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (0 + \frac{d}{d v} [2 v])$

Étape 2.2.2.1.3.9

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d v} [2 v]$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [2 v]$

Étape 2.2.2.1.3.10

Comme $2$ est constant par rapport à $v$ , la dérivée de $2 v$ par rapport à $v$ est $2 \frac{d}{d v} [v]$ .

$- 2 (1 + 2 v) + (1 - 2 v) (2 \frac{d}{d v} [v])$

Étape 2.2.2.1.3.11

Déplacez $2$ à gauche de $1 - 2 v$ .

$- 2 (1 + 2 v) + 2 \cdot (1 - 2 v) \frac{d}{d v} [v]$

Étape 2.2.2.1.3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [v^{n}]$ est $n v^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- 2 (1 + 2 v) + 2 (1 - 2 v) \cdot 1$

Étape 2.2.2.1.3.13

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 (1 + 2 v) + 2 (1 - 2 v)$

Étape 2.2.2.1.4

Simplifiez

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Étape 2.2.2.1.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 v) + 2 (1 - 2 v)$

Étape 2.2.2.1.4.2

Appliquez la propriété distributive.

$- 2 \cdot 1 - 2 (2 v) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

Étape 2.2.2.1.4.3

Associez des termes.

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Étape 2.2.2.1.4.3.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$- 2 - 2 (2 v) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

Étape 2.2.2.1.4.3.2

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- 2 - 4 v + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 v)$

Étape 2.2.2.1.4.3.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- 2 - 4 v + 2 + 2 (- 2 v)$

Étape 2.2.2.1.4.3.4

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$- 2 - 4 v + 2 - 4 v$

Étape 2.2.2.1.4.3.5

Additionnez $- 2$ et $2$ .

$- 4 v + 0 - 4 v$

Étape 2.2.2.1.4.3.6

Additionnez $- 4 v$ et $0$ .

$- 4 v - 4 v$

Étape 2.2.2.1.4.3.7

Soustrayez $4 v$ de $- 4 v$ .

$- 8 v$

Étape 2.2.2.2

Réécrivez le problème en utilisant $u$ et $d u$ .

$3 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{- 8} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Simplifiez

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Étape 2.2.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$3 \int \frac{1}{u} (- \frac{1}{8}) d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Multipliez $\frac{1}{u}$ par $\frac{1}{8}$ .

$3 \int - \frac{1}{u \cdot 8} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.3

Déplacez $8$ à gauche de $u$ .

$3 \int - \frac{1}{8 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $u$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$3 (- \int \frac{1}{8 u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

Multipliez $- 1$ par $3$ .

$- 3 \int \frac{1}{8 u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Comme $\frac{1}{8}$ est constant par rapport à $u$ , placez $\frac{1}{8}$ en dehors de l’intégrale.

$- 3 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

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Étape 2.2.7.1

Associez $\frac{1}{8}$ et $- 3$ .

$\frac{- 3}{8} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{8} \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

L’intégrale de $\frac{1}{u}$ par rapport à $u$ est $\ln (| u |)$ .

$- \frac{3}{8} (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.9

Simplifiez

$- \frac{3}{8} \ln (| u |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.10

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ .

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) + C_{1} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) + C_{1} = \ln (| x |) + C_{2}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |) = \ln (| x |) + C$

Étape 3

Résolvez $v$ .

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Étape 3.1

Multipliez les deux côtés de l’équation par $- \frac{8}{3}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 3.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.2.1.1

Simplifiez $- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| (1 + 2 v) (1 - 2 v) |))$ .

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Étape 3.2.1.1.1

Développez $(1 + 2 v) (1 - 2 v)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 (1 - 2 v) + 2 v (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- 2 v) + 2 v (1 - 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 \cdot 1 + 1 (- 2 v) + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1.1.2.1.1

Multipliez $1$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 + 1 (- 2 v) + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.2

Multipliez $- 2 v$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v \cdot 1 + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 v (- 2 v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.4

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 v \cdot v |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.5

Multipliez $v$ par $v$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.1.1.2.1.5.1

Déplacez $v$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 (v \cdot v) |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.5.2

Multipliez $v$ par $v$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v + 2 \cdot - 2 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.1.6

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 2 v + 2 v - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.2

Additionnez $- 2 v$ et $2 v$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 + 0 - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.2.3

Additionnez $1$ et $0$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{3}{8} \ln (| 1 - 4 v^{2} |)) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.3

Associez $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ et $\frac{3}{8}$ .

$- \frac{8}{3} (- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.4

Annulez le facteur commun de $8$ .

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Étape 3.2.1.1.4.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8}{3}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8}{3} (- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.4.2

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8}$ dans le numérateur.

$\frac{- 8}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.4.3

Factorisez $8$ à partir de $- 8$ .

$\frac{8 (- 1)}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.4.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{8 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3}{8} = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.4.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{3} (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.5

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.2.1.1.5.1

Factorisez $3$ à partir de $- \ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3$ .

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |))) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.5.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{3} (3 \cdot (- \ln (| 1 - 4 v^{2} |))) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.5.3

Réécrivez l’expression.

$- - \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.6

Multipliez.

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Étape 3.2.1.1.6.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$1 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.1.1.6.2

Multipliez $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ par $1$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$

Étape 3.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.2.2.1

Simplifiez $- \frac{8}{3} (\ln (| x |) + C)$ .

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Étape 3.2.2.1.1

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8}{3} \ln (| x |) - \frac{8}{3} C$

Étape 3.2.2.1.1.2

Associez $\ln (| x |)$ et $\frac{8}{3}$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 8}{3} - \frac{8}{3} C$

Étape 3.2.2.1.1.3

Associez $C$ et $\frac{8}{3}$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{\ln (| x |) \cdot 8}{3} - \frac{C \cdot 8}{3}$

Étape 3.2.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.2.1.2.1

Déplacez $8$ à gauche de $\ln (| x |)$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \cdot \ln (| x |)}{3} - \frac{C \cdot 8}{3}$

Étape 3.2.2.1.2.2

Déplacez $8$ à gauche de $C$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$

Étape 3.3

Multiplier chaque terme dans $\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$ par $3$ afin d’éliminer les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Multipliez chaque terme dans $\ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} - \frac{8 C}{3}$ par $3$ .

$\ln (| 1 - 4 v^{2} |) \cdot 3 = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Étape 3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.3.2.1

Déplacez $3$ à gauche de $\ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ .

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - \frac{8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Étape 3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.3.1.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8 \ln (| x |)}{3}$ dans le numérateur.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = \frac{- 8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Étape 3.3.3.1.1.2

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = \frac{- 8 \ln (| x |)}{3} \cdot 3 - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Étape 3.3.3.1.1.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) - \frac{8 C}{3} \cdot 3$

Étape 3.3.3.1.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 3.3.3.1.2.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{8 C}{3}$ dans le numérateur.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) + \frac{- 8 C}{3} \cdot 3$

Étape 3.3.3.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) + \frac{- 8 C}{3} \cdot 3$

Étape 3.3.3.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) = - 8 \ln (| x |) - 8 C$

Étape 3.4

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) + 8 \ln (| x |) = - 8 C$

Étape 3.5

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.5.1

Simplifiez $3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |) + 8 \ln (| x |)$ .

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Étape 3.5.1.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.5.1.1.1

Simplifiez $3 \ln (| 1 - 4 v^{2} |)$ en déplaçant $3$ dans le logarithme.

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + 8 \ln (| x |) = - 8 C$

Étape 3.5.1.1.2

Simplifiez $8 \ln (| x |)$ en déplaçant $8$ dans le logarithme.

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + \ln ({| x |}^{8}) = - 8 C$

Étape 3.5.1.1.3

Retirez la valeur absolue dans ${| x |}^{8}$ car les élévations à des puissances paires sont toujours positives.

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) + \ln (x^{8}) = - 8 C$

Étape 3.5.1.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3} x^{8}) = - 8 C$

Étape 3.5.1.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\ln ({| 1 - 4 v^{2} |}^{3} x^{8})$ .

$\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) = - 8 C$

Étape 3.6

Pour résoudre $v$ , réécrivez l’équation en utilisant les propriétés des logarithmes.

$e^{\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3})} = e^{- 8 C}$

Étape 3.7

Réécrivez $\ln (x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}) = - 8 C$ en forme exponentielle en utilisant la définition d’un logarithme. Si $x$ et $b$ sont des nombres réels positifs et $b \neq 1$ , alors $\log_{b} (x) = y$ est équivalent à $b^{y} = x$ .

$e^{- 8 C} = x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}$

Étape 3.8

Résolvez $v$ .

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Étape 3.8.1

Réécrivez l’équation comme $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ .

$x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$

Étape 3.8.2

Divisez chaque terme dans $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ par $x^{8}$ et simplifiez.

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Étape 3.8.2.1

Divisez chaque terme dans $x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = e^{- 8 C}$ par $x^{8}$ .

$\frac{x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}}{x^{8}} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

Étape 3.8.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{8}$ .

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Étape 3.8.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{8} {| 1 - 4 v^{2} |}^{3}}{x^{8}} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

Étape 3.8.2.2.1.2

Divisez ${| 1 - 4 v^{2} |}^{3}$ par $1$ .

${| 1 - 4 v^{2} |}^{3} = \frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$

Étape 3.8.3

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}}$

Étape 3.8.4

Simplifiez $\sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}}$ .

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Étape 3.8.4.1

Réécrivez $\frac{e^{- 8 C}}{x^{8}}$ comme ${(\frac{1}{x^{2}})}^{3} \frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}$ .

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Étape 3.8.4.1.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{3}$ dans $e^{- 8 C}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{x^{8}}}$

Étape 3.8.4.1.2

Factorisez la puissance parfaite ${(x^{2})}^{3}$ dans $x^{8}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{{(x^{2})}^{3} x^{2}}}$

Étape 3.8.4.1.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{3} e^{- 8 C}}{{(x^{2})}^{3} x^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \sqrt[3]{{(\frac{1}{x^{2}})}^{3} \frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$

Étape 3.8.4.2

Extrayez les termes de sous le radical.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1}{x^{2}} \sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$

Étape 3.8.4.3

Réécrivez $\sqrt[3]{\frac{e^{- 8 C}}{x^{2}}}$ comme $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1}{x^{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 3.8.4.4

Associez.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{1 \sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 3.8.4.5

Multipliez $\sqrt[3]{e^{- 8 C}}$ par $1$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$

Étape 3.8.4.6

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 3.8.4.7

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.8.4.7.1

Multipliez $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Étape 3.8.4.7.2

Déplacez $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} (\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2})}$

Étape 3.8.4.7.3

Élevez $\sqrt[3]{x^{2}}$ à la puissance $1$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} ({\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2})}$

Étape 3.8.4.7.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Étape 3.8.4.7.5

Additionnez $1$ et $2$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Étape 3.8.4.7.6

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ comme $x^{2}$ .

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Étape 3.8.4.7.6.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x^{2}}$ comme $x^{\frac{2}{3}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} {(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Étape 3.8.4.7.6.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Étape 3.8.4.7.6.3

Associez $\frac{2}{3}$ et $3$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Étape 3.8.4.7.6.4

Multipliez $2$ par $3$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{6}{3}}}$

Étape 3.8.4.7.6.5

Annulez le facteur commun à $6$ et $3$ .

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Étape 3.8.4.7.6.5.1

Factorisez $3$ à partir de $6$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Étape 3.8.4.7.6.5.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.4.7.6.5.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Étape 3.8.4.7.6.5.2.2

Annulez le facteur commun.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Étape 3.8.4.7.6.5.2.3

Réécrivez l’expression.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{\frac{2}{1}}}$

Étape 3.8.4.7.6.5.2.4

Divisez $2$ par $1$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2} x^{2}}$

Étape 3.8.4.8

Multipliez $x^{2}$ par $x^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.8.4.8.1

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2 + 2}}$

Étape 3.8.4.8.2

Additionnez $2$ et $2$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.4.9.1

Réécrivez ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.9.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{2})}^{2}$ .

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Étape 3.8.4.9.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.9.2.2

Multipliez $2$ par $2$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.9.3

Factorisez $x^{3}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.9.4

Extrayez les termes de sous le radical.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.9.5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.10

Réduisez l’expression en annulant les facteurs communs.

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Étape 3.8.4.10.1

Annulez le facteur commun à $x$ et $x^{4}$ .

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Étape 3.8.4.10.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{4}}$

Étape 3.8.4.10.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.8.4.10.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{4}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.8.4.10.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{x \sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x \cdot x^{3}}$

Étape 3.8.4.10.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{3}}$

Étape 3.8.4.10.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{\sqrt[3]{e^{- 8 C} x}}{x^{3}}$ .

$| 1 - 4 v^{2} | = \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.5

Supprimez le terme en valeur absolue. Cela crée un $\pm$ du côté droit de l’équation car $| x | = \pm x$ .

$1 - 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}$

Étape 3.8.6

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$

Étape 3.8.7

Divisez chaque terme dans $- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$ par $- 4$ et simplifiez.

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Étape 3.8.7.1

Divisez chaque terme dans $- 4 v^{2} = \pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} - 1$ par $- 4$ .

$\frac{- 4 v^{2}}{- 4} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.8.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 3.8.7.2.1

Annulez le facteur commun de $- 4$ .

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Étape 3.8.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 4 v^{2}}{- 4} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.8.7.2.1.2

Divisez $v^{2}$ par $1$ .

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.8.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 3.8.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.7.3.1.1

Simplifiez $\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{- 4}$ .

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{- 1}{- 4}$

Étape 3.8.7.3.1.2

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$v^{2} = \frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}$

Étape 3.8.8

Prenez la racine spécifiée des deux côtés de l’équation pour éliminer l’exposant du côté gauche.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}}$

Étape 3.8.9

Simplifiez $\pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}}}{4} + \frac{1}{4}}$ .

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Étape 3.8.9.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$v = \pm \sqrt{\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}{4}}$

Étape 3.8.9.2

Réécrivez $\frac{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}{4}$ comme ${(\frac{1}{2})}^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)$ .

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Étape 3.8.9.2.1

Factorisez la puissance parfaite $1^{2}$ dans $\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{4}}$

Étape 3.8.9.2.2

Factorisez la puissance parfaite $2^{2}$ dans $4$ .

$v = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{2^{2} \cdot 1}}$

Étape 3.8.9.2.3

Réorganisez la fraction $\frac{1^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$v = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1)}$

Étape 3.8.9.3

Extrayez les termes de sous le radical.

$v = \pm \frac{1}{2} \sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}$

Étape 3.8.9.4

Associez $\frac{1}{2}$ et $\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}$ .

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x e^{- 8 C}}}{x^{3}} + 1}}{2}$

Étape 4

Simplifiez la constante d’intégration.

$v = \pm \frac{\sqrt{\pm \frac{\sqrt[3]{x C}}{x^{3}} + 1}}{2}$