Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle en fonction de $\frac{y}{x}$ .

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Étape 1.1

Multipliez $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ par $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

Étape 1.2

Multipliez $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ par $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun de $x^{3}$ .

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Étape 1.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 1.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Étape 1.5

Associez $y^{3}$ et $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Étape 1.6

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 1.6.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Étape 1.6.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Étape 1.6.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Étape 1.6.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Étape 1.7

Associez $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Étape 1.8

Utilisez la règle de la puissance d’un quotient $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}$

Étape 2

Laissez $V = \frac{y}{x}$ . Remplacez $\frac{y}{x}$ par $V$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Étape 3

Résolvez $V = \frac{y}{x}$ pour $y$ .

$y = V x$

Étape 4

Utilisez la règle de produit pour déterminer la dérivée de $y = V x$ par rapport à $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Étape 5

Remplacez $\frac{d y}{d x}$ par $x \frac{d V}{d x} + V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Étape 6

Résolvez l’équation différentielle remplacée.

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Étape 6.1

Séparez les variables.

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Étape 6.1.1

Résolvez $\frac{d V}{d x}$ .

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Étape 6.1.1.1

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 6.1.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{3} + V^{3}}$

Étape 6.1.1.1.2

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la somme des cubes, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}$

Étape 6.1.1.1.3

Simplifiez

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Étape 6.1.1.1.3.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}$

Étape 6.1.1.1.3.2

Réécrivez $- 1 V$ comme $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Étape 6.1.1.2

Soustrayez $V$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$

Étape 6.1.1.3

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 6.1.1.3.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.1.1.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 6.1.1.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.2.1.2

Divisez $\frac{d V}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.2.1

Factorisez $V$ à partir de $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ .

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Étape 6.1.1.3.3.2.1.1

Factorisez $V$ à partir de $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.1.2

Factorisez $V$ à partir de $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.1.3

Factorisez $V$ à partir de $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1)}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.3

Associez $- 1$ et $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + \frac{- ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 6.1.1.3.3.2.5.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.3

Développez $(- 1 - V) (1 - V + V^{2})$ en multipliant chaque terme dans la première expression par chaque terme dans la deuxième expression.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Multipliez $- 1 (- V)$ .

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Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.2.2

Multipliez $V$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Réécrivez $- 1 V^{2}$ comme $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.4

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.6

Multipliez $V$ par $V$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.6.1

Déplacez $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.6.2

Multipliez $V$ par $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.7

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.8

Multipliez $V^{2}$ par $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.9

Multipliez $V$ par $V^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.9.1

Déplacez $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V)}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2

Multipliez $V^{2}$ par $V$ .

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Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V^{1})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{2 + 1}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.4.9.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.5

Associez les termes opposés dans $- 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}$ .

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Étape 6.1.1.3.3.2.5.5.1

Soustrayez $V$ de $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + 0 + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.5.2

Additionnez $- 1 - V^{2}$ et $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.5.3

Additionnez $- V^{2}$ et $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.5.4

Additionnez $- 1$ et $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.6

Soustrayez $1$ de $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.5.7

Soustrayez $V^{3}$ de $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{- V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1 \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.7

Associez les exposants.

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Étape 6.1.1.3.3.2.7.1

Factorisez le signe négatif.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (V \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.7.2

Associez $V$ et $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.7.3

Multipliez $V$ par $V^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 6.1.1.3.3.2.7.3.1

Multipliez $V$ par $V^{3}$ .

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Étape 6.1.1.3.3.2.7.3.1.1

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1} V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.7.3.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1 + 3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.2.7.3.2

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.1.3.3.4

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{x (1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Étape 6.1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 6.1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4

Simplifiez

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Étape 6.1.4.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 6.1.4.2

Associez.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3

Annulez le facteur commun de $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

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Étape 6.1.4.3.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ dans le numérateur.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3.2

Factorisez $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ à partir de $- (1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3.3

Factorisez $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ à partir de $(1 + V) (1 - V + V^{2}) x$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (x)}$

Étape 6.1.4.3.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) \cdot - 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Étape 6.1.4.3.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Étape 6.1.4.4

Annulez le facteur commun de $V^{4}$ .

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Étape 6.1.4.4.1

Factorisez $V^{4}$ à partir de $V^{4} \cdot 1$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} (1)}{x}$

Étape 6.1.4.4.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Étape 6.1.4.4.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Étape 6.1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 6.2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 6.2.2.1

Retirez $V^{4}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) {(V^{4})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2

Multipliez les exposants dans ${(V^{4})}^{- 1}$ .

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Étape 6.2.2.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{4 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.2.2

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3

Développez $(1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 (1 - V + V^{2}) + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 (1 - V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.4

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.5

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.6

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2}) V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.7

Appliquez la propriété distributive.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.8

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.9

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.10

Appliquez la propriété distributive.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + V \cdot 1 V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.11

Remettez dans l’ordre $V$ et $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.12

Remettez dans l’ordre $V$ et $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.13

Multipliez $1$ par $1$ .

$\int 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.14

Multipliez $V^{- 4}$ par $1$ .

$\int V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.15

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\int V^{- 4} - V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.16

Factorisez le signe négatif.

$\int V^{- 4} - (V \cdot V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.17

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\int V^{- 4} - (V^{1} V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.18

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 4} - V^{1 - 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.19

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.20

Multipliez $V^{2}$ par $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.21

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2 - 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.22

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.23

Multipliez $V$ par $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.24

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1} V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.25

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1 - 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.26

Soustrayez $4$ de $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.27

Factorisez le signe négatif.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V \cdot V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.28

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.29

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V^{1}) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.30

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{1 + 1} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.31

Additionnez $1$ et $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.32

Factorisez le signe négatif.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{2} V^{- 4}) + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.33

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2 - 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.34

Soustrayez $4$ de $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.35

Élevez $V$ à la puissance $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.36

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 + 2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.37

Additionnez $1$ et $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.38

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3 - 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.39

Soustrayez $4$ de $3$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.40

Remettez dans l’ordre $V^{- 4}$ et $- V^{- 3}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.41

Déplacez $V^{- 4}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.42

Remettez dans l’ordre $- V^{- 3}$ et $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.43

Remettez dans l’ordre $V^{- 3}$ et $- V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.44

Déplacez $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.45

Remettez dans l’ordre $- V^{- 2}$ et $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.46

Déplacez $V^{- 4}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.47

Déplacez $- V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.48

Remettez dans l’ordre $V^{- 2}$ et $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 2} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.49

Soustrayez $V^{- 2}$ de $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.50

Additionnez $V^{- 1}$ et $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.51

Soustrayez $V^{- 3}$ de $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.3.52

Additionnez $V^{- 1}$ et $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.4

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int V^{- 1} d V + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.5

L’intégrale de $V^{- 1}$ par rapport à $V$ est $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.6

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $V^{- 4}$ par rapport à $V$ est $- \frac{1}{3} V^{- 3}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{3} V^{- 3} + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7

Simplifiez

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Étape 6.2.2.7.1

Simplifiez

$\ln (| V |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2

Simplifiez

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Étape 6.2.2.7.2.1

Multipliez $\frac{1}{V^{3}}$ par $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{V^{3} \cdot 3} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.7.2.2

Déplacez $3$ à gauche de $V^{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{3 V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.2.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3

Intégrez le côté droit.

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Étape 6.2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Étape 6.2.3.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Étape 6.2.3.3

Simplifiez

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 6.2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 7

Remplacez $V$ par $\frac{y}{x}$ .

$- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Étape 8

Résolvez $- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ pour $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant un logarithme du côté gauche de l’équation.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Étape 8.2

Utilisez la propriété du produit des logarithmes, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Étape 8.3

Multipliez $| \frac{y}{x} | | x |$ .

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Étape 8.3.1

Pour multiplier des valeurs absolues, multipliez les termes à l’intérieur de chaque valeur absolue.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Étape 8.3.2

Associez $\frac{y}{x}$ et $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Étape 8.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.4.1

Annulez le facteur commun.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Étape 8.4.2

Divisez $y$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Étape 8.5

Simplifiez chaque terme.

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Étape 8.5.1

Appliquez la règle de produit à $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 (\frac{y^{3}}{x^{3}})} + C$

Étape 8.5.2

Associez $3$ et $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{3 y^{3}}{x^{3}}} + C$

Étape 8.5.3

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{3}}{3 y^{3}}) + C$

Étape 8.5.4

Multipliez $\frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ par $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$