Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 5 x^{3}$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 5 x^{3}$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 5 x^{3}$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (5 x^{3})$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (5 x^{3})$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (5 x^{3})$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (5 x^{3})$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \frac{d y}{d x} + y = 5 x \cdot x^{3}$

Étape 3.4

Multipliez $x$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x^{3}$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 5 (x^{3} x)$

Étape 3.4.2

Multipliez $x^{3}$ par $x$ .

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Étape 3.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 5 (x^{3} x^{1})$

Étape 3.4.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$x \frac{d y}{d x} + y = 5 x^{3 + 1}$

Étape 3.4.3

Additionnez $3$ et $1$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 5 x^{4}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = 5 x^{4}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 5 x^{4} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int 5 x^{4} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 5 \int x^{4} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$x y = 5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $5 (\frac{1}{5} x^{5} + C)$ comme $5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$ .

$x y = 5 (\frac{1}{5}) x^{5} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $5$ et $\frac{1}{5}$ .

$x y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{5}{5} x^{5} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x y = 1 x^{5} + C$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $x^{5}$ par $1$ .

$x y = x^{5} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x y = x^{5} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x y = x^{5} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{5}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{5}$ et $x$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{5}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{4}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{4}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{4}}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.5

Divisez $x^{4}$ par $1$ .

$y = x^{4} + \frac{C}{x}$