Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

Étape 1

Séparez les variables.

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Étape 1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 1.1.1

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Étape 1.1.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 1.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.1.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Étape 1.1.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 1.1.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.1.3.2

Multipliez $\frac{y}{2 + 3 y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Étape 1.1.3.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

Étape 1.2

Regroupez des facteurs.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Étape 1.3

Multipliez les deux côtés par $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

Étape 1.4

Simplifiez

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Étape 1.4.1

Multipliez $\frac{y}{2 + 3 y}$ par $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Étape 1.4.2

Annulez le facteur commun de $2 + 3 y$ .

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Étape 1.4.2.1

Factorisez $2 + 3 y$ à partir de $(2 + 3 y) x$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

Étape 1.4.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Étape 1.4.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.4.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 1.4.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Étape 1.4.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Étape 1.5

Réécrivez l’équation.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Étape 2

Intégrez les deux côtés.

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Étape 2.1

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2

Intégrez le côté gauche.

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.2

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.3.2

Divisez $3$ par $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.4

Comme $2$ est constant par rapport à $y$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{y}$ par rapport à $y$ est $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.6

Appliquez la règle de la constante.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.7

Simplifiez

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.2.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Étape 2.3

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Étape 2.4

Regroupez la constante d’intégration du côté droit comme $C$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$