Calcul infinitésimal Exemples

$x \frac{d y}{d x} = 5 y + 2 x^{3} - x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Soustrayez $5 y$ des deux côtés de l’équation.

$x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$

Étape 1.2

Divisez chaque terme dans $x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$ par $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.3.2

Divisez $\frac{d y}{d x}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.4

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 1.4.1

Factorisez $x$ à partir de $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.4.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 1.4.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.4.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.4.2.3

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.4.2.4

Réécrivez l’expression.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.4.2.5

Divisez $2 x^{2}$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.5

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 1.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Étape 1.5.2

Divisez $- 1$ par $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} - 1$

Étape 1.6

Factorisez $y$ à partir de $\frac{- 5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = 2 x^{2} - 1$

Étape 1.7

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = 2 x^{2} - 1$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{- 5}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

Étape 2.2

Intégrez $\frac{- 5}{x}$ .

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Étape 2.2.1

Divisez la fraction en plusieurs fractions.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Étape 2.2.2

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Étape 2.2.3

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , placez $5$ en dehors de l’intégrale.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Étape 2.2.4

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2.5

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Étape 2.2.6

Simplifiez

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Étape 2.4

Utilisez la règle de puissance logarithmique.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Étape 2.5

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x^{- 5}$

Étape 2.6

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $\frac{1}{x^{5}}$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x^{5}}$ et $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2.4

Associez $\frac{5}{x}$ et $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2.5

Multipliez $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ .

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Étape 3.2.5.1

Multipliez $\frac{5 y}{x}$ par $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2.5.2

Multipliez $x$ par $x^{5}$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.2.5.2.1

Multipliez $x$ par $x^{5}$ .

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Étape 3.2.5.2.1.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2.5.2.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.2.5.2.2

Additionnez $1$ et $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.3

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = 2 \frac{1}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.3.2

Associez $2$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.3.3

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 3.3.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.3.3.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.3.3.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Étape 3.3.4

Associez $\frac{1}{x^{5}}$ et $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{5}}$

Étape 3.3.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Séparez l’intégrale unique en plusieurs intégrales.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , placez $2$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.3

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.3.1

Retirez $x^{3}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.3.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Étape 7.3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.3.2.2

Multipliez $3$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.4

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 3}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.5

Simplifiez

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Étape 7.5.1

Associez $x^{- 2}$ et $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.5.2

Placez $x^{- 2}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , placez $- 1$ en dehors de l’intégrale.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Étape 7.7

Appliquez les règles de base des exposants.

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Étape 7.7.1

Retirez $x^{5}$ du dénominateur en l’élevant à la puissance $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Étape 7.7.2

Multipliez les exposants dans ${(x^{5})}^{- 1}$ .

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Étape 7.7.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Étape 7.7.2.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 5} d x$

Étape 7.8

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{- 5}$ par rapport à $x$ est $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Étape 7.9

Simplifiez

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Étape 7.9.1

Simplifiez

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Étape 7.9.1.1

Associez $x^{- 4}$ et $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Étape 7.9.1.2

Placez $x^{- 4}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Étape 7.9.2

Simplifiez

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{- 1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 7.9.3

Simplifiez

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Étape 7.9.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 7.9.3.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + 1 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 7.9.3.3

Multipliez $\frac{1}{4 x^{4}}$ par $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 8

Résolvez $y$ .

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Étape 8.1

Déplacez tous les termes contenant des variables du côté gauche de l’équation.

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Étape 8.1.1

Ajoutez $\frac{1}{x^{2}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 8.1.2

Soustrayez $\frac{1}{4 x^{4}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Étape 8.1.3

Soustrayez $C$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Étape 8.1.4

Associez $\frac{1}{x^{5}}$ et $y$ .

$\frac{y}{x^{5}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Étape 8.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y$ du côté droit de l’équation.

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Étape 8.2.1

Soustrayez $\frac{1}{x^{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = - \frac{1}{x^{2}}$

Étape 8.2.2

Ajoutez $\frac{1}{4 x^{4}}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{5}} - C = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}}$

Étape 8.2.3

Ajoutez $C$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Étape 8.3

Multipliez les deux côtés par $x^{5}$ .

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Étape 8.4

Simplifiez

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Étape 8.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.4.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{5}$ .

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Étape 8.4.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Étape 8.4.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Étape 8.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.4.2.1

Simplifiez $(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$ .

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Étape 8.4.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y = - \frac{1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2

Simplifiez

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Étape 8.4.2.1.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.1.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{x^{2}}$ dans le numérateur.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.1.2

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{5}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.1.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.1.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.2

Annulez le facteur commun de $x^{4}$ .

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Étape 8.4.2.1.2.2.1

Factorisez $x^{4}$ à partir de $4 x^{4}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} x^{5} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.2.2

Factorisez $x^{4}$ à partir de $x^{5}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4} x + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.2.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $x$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.3

Réécrivez $- 1 x^{3}$ comme $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Étape 8.4.2.1.4

Déplacez $\frac{x}{4}$ .

$y = - x^{3} + C x^{5} + \frac{x}{4}$

Étape 8.4.2.1.5

Remettez dans l’ordre $- x^{3}$ et $C x^{5}$ .

$y = C x^{5} - x^{3} + \frac{x}{4}$