Calcul infinitésimal Exemples

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 3 x$

Étape 1

Réécrivez l’équation différentielle comme $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

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Étape 1.1

Factorisez $y$ à partir de $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 3 x$

Étape 1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 3 x$

Étape 2

Le facteur d’intégration est défini par la formule $e^{\int P (x) d x}$ , où $P (x) = \frac{1}{x}$ .

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Étape 2.1

Définissez l’intégration.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Étape 2.2

L’intégrale de $\frac{1}{x}$ par rapport à $x$ est $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Étape 2.3

Retirez la constante d’intégration.

$e^{\ln (x)}$

Étape 2.4

L’élévation à une puissance et log sont des fonctions inverses.

$x$

Étape 3

Multipliez chaque terme par le facteur d’intégration $x$ .

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Étape 3.1

Multipliez chaque terme par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (3 x)$

Étape 3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.2.1

Associez $\frac{1}{x}$ et $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Étape 3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Étape 3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x)$

Étape 3.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x$

Étape 3.4

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.4.1

Déplacez $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x)$

Étape 3.4.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

Étape 4

Réécrivez le côté gauche suite à la différenciation d’un produit.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

Étape 5

Définissez une intégrale de chaque côté.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Étape 6

Intégrez le côté gauche.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

Étape 7

Intégrez le côté droit.

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Étape 7.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , placez $3$ en dehors de l’intégrale.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

Étape 7.2

Selon la règle de puissance, l’intégrale de $x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Étape 7.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 7.3.1

Réécrivez $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ comme $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Étape 7.3.2

Simplifiez

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Étape 7.3.2.1

Associez $3$ et $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 7.3.2.2

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 7.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Étape 7.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$x y = 1 x^{3} + C$

Étape 7.3.2.3

Multipliez $x^{3}$ par $1$ .

$x y = x^{3} + C$

Étape 8

Divisez chaque terme dans $x y = x^{3} + C$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 8.1

Divisez chaque terme dans $x y = x^{3} + C$ par $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 8.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 8.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.2.1.2

Divisez $y$ par $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 8.3.1

Annulez le facteur commun à $x^{3}$ et $x$ .

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Étape 8.3.1.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 8.3.1.2.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.2

Factorisez $x$ à partir de $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.3

Annulez le facteur commun.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.4

Réécrivez l’expression.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Étape 8.3.1.2.5

Divisez $x^{2}$ par $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$